normale in p schneidet 1. mediane

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06.02.2006, 23:51	bambi mcbarbie	Auf diesen Beitrag antworten »
normale in p schneidet 1. mediane hallo nochmals ich wieder hab bei folgendem beispiel irgendwie keinen blassen schimmer wie ich das angehen soll... die normale im punkt P der kurve y=1/x schneidet die 1. Mediane im Punkt Q. Zeige, dass das Dreieck OPQ stets gleichschenkelig ist. tjaaaaaaaaaa... die erste mediane ist ja mit y=x definiert oder? eine normale an die kurve kann ich ja nur an die tangente in diesem punkt legen... also müsst ich zuerst die tangente an y legen im punkt p und dann mit dem normalvektor die normale aufstellen... soll ich dazu p mit P(x/y) annehmen? die steigung würd ich aus der ersten ableitung der kurve erhalten y' = -1/x^2 im punkt x von P... aber wie gehts nun weiter? kann ich das so überhaupt machen? ist ja alles ziemlich allgemein gehalten... hilfe! bitte! matheertrinkende gg
07.02.2006, 00:12	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: normale in p schneidet 1. mediane stelle die normale in P auf und schneide sie mit y = x, der punkt Q hat dann die koordinaten $\begin{eqnarray} Q(\frac{1}{x_P}+x_P/\frac{1}{x_P}+x_P) \end{eqnarray}$ und jetzt zeigst du (leicht), dass OP = PQ werner
07.02.2006, 00:13	bambi mcbarbie	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: normale in p schneidet 1. mediane hmm muss wohl irgendwo nen hund begraben haben, ... gleich mal nachrechnen bei mir kommt für q immer ein mist raus ... *smile danke ich mach mich mal an die arbeit
07.02.2006, 09:12	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: normale in p schneidet 1. mediane noch klarer wird die sache, wenn du für die koordinaten von Q "einsetzt" und schreibst $\begin{eqnarray} Q(x_P+y_P/x_P+y_P) \end{eqnarray}$ werner
07.02.2006, 19:07	bambi mcbarbie	Auf diesen Beitrag antworten »
grml ich hab voll den wurm drin... komm überhaupt nicht auf deine werte *hmpf wie ist es denn besser, dass ich die normale in p aufstelle? in koordinatenform oder normalform und dann in hauptform umformen und dann schneiden? stimmt mein vorgang überhaupt? zuerst die steigung in f'(xp)= k ... steigung für die tangente in punkt p und dann normalvektor davon...? danke nochmals
07.02.2006, 19:10	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
um die normale aufzustellen benötigst du die erste ableitung der funktion 1/x danach kannst du die normalensteigung im punkt P berechnen und sie dann in die geradengleichung einsetzen... es gilt praktisch: f(x)=-1/f'(x) *x+c
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07.02.2006, 19:13	bambi mcbarbie	Auf diesen Beitrag antworten »
so hab ich es eh angefangen wollt wissen obs ok so ist danke
07.02.2006, 21:54	bambi mcbarbie	Auf diesen Beitrag antworten »
kreisch... komm beim besten willen nicht auf "annehmbaren" schnittpunkt Q damit, wo dann der beweis für gleichschenkeliges dreieck stimmen würd noch mal von vorn tief durchatmen P(xp/yp) f(x) = x^-1 f'(x) = -1x^-2 = -1/x^2 für x = xp ist die steigung k in punkt P dann k=-1/xp^2 der richtungsvektor wär dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1/xp^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ der normalvektor dazu ist dann der gekippte mit einem geänderten vorzeichen die normale gerade durch p lautet bei mir dann $\begin{eqnarray} X = \begin{pmatrix} xp \\ xp \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1/xp^{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bin ich da schon komplett falsch ???
07.02.2006, 21:58	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
die steigung der normalen beträgt in P(1/2) m=1 in f(x)=f'(x)x+c eingesetzt: 2=11+c 1=c y=x+c
07.02.2006, 22:11	bambi mcbarbie	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry ich kapiers nicht wieso P(1/2) und wofür ist das die formel? vielleicht steh ich total am schlauch, aber ich verstehs grad wirklich nicht
07.02.2006, 22:13	marci_	Auf diesen Beitrag antworten »
wieso P(1/2), sorry kA..ich hab mir das wohl so ausgedacht, vergiss meinen vorigen post, entschuldigung !
07.02.2006, 22:14	bambi mcbarbie	Auf diesen Beitrag antworten »
smile no prob danke trotzdem für die mühe
07.02.2006, 23:32	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
dann versuche ich es mal: $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{x}\Rightarrow y^\prime=-\frac{1}{x^{2}} \end{eqnarray}$ damit lautet die normale im punkt $\begin{eqnarray} P(x_P/y_P) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y-y_P=x_P^{2}(x-x_P) \end{eqnarray}$ geschnitten mit x = y gibt den punkt $\begin{eqnarray} Q(x_Q/y_Q) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_Q-y_P=x_P^{2}(x_Q-x_P)\Rightarrow x_Q=\frac{y_P-x_P^{3}}{1-x_P^{2}}=\frac{1-x_P^{4}}{x_P(1-x_P^{2})}=\frac{1}{x_P}+x_P=y_P+x_P \end{eqnarray}$ und x = y gibt Q wie geschildert. werner
08.02.2006, 10:15	bambi mcbarbie	Auf diesen Beitrag antworten »
hey super danke mir hat der schritt gefehlt, dass ja 1/xp = yp ist hab den rest dann relativ leicht hinbekommen

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