Noch mal Galois: Elemente, die durch alle K-Automorphismen festgehalten werden

07.02.2006, 00:20

JochenX

Noch mal Galois: Elemente, die durch alle K-Automorphismen festgehalten werden

Ich gebs nicht auf, irgendwer wird sich hier doch mit Galoistheorie und so nem Krams auskennen? [Werbung *klick*]

Ich wüsste gerne noch eure Meinung zu einer weiteren Aufgabe, ich bin etwas unsicher, da ich an dieser Aufgabe lange in völlig anderer Richtung gedacht habe und mir jetzt meine vorhin eingefallene Lösung zu kurz und einfach vorkommt.

Zitat:

Aufgabe
Sei K ein Körper und L der Zerfällungskörper eines separablen Polynoms aus K[X].
Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} \{a \in L: \sigma(a)=a \text{ für alle } \sigma \in Aut_K(L)\}=K \end{eqnarray*}$

in Worten: zu zeigen ist, dass nur genau die Elemente aus K von allen K-Automorphismen von L festgehalten werden.
Achja zunächst: L|K ist galoissch.

Dabei ist die Teilmengeneigenschaft K Teilmenge linke Seite nach Definition klar.

Andere Richtung: sei a in L wie oben beschrieben.
Ich betrachte nun den Körper $\begin{eqnarray*} K(a) \end{eqnarray*}$ , für den folgenes gilt: $\begin{eqnarray*} K \subset K(a) \subset L \end{eqnarray*}$ ; desweiteren ist L|K(a) auch galoissch
Nun vergleiche ich folgenden beiden Gruppen: $\begin{eqnarray*} Gal(L|K), Gal(L|K(a)) \end{eqnarray*}$

Behauptung: $\begin{eqnarray*} Gal(L|K)=Gal(L|K(a)) \end{eqnarray*}$
Die eine Inklusion ist dabei wieder klar, denn jeder Automorphismus von L der K(a) festlässt, lässt auch K fest (=> rechte Seite Teilmenge linke Seite)
Andere Richtung: Sei $\begin{eqnarray*} \sigma \in Gal(L|K) => \sigma|_K=id_K, K(a)=a \end{eqnarray*}$ , letzteres wegen Wahl von a!

Damit gilt aber: sei x in K(a), $\begin{eqnarray*} x=\sum_{i=1}^{<\infty}~c_ia^i, c_i \in K \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \sigma(x)=\sigma(\sum_{i=0}^{<\infty}~c_ia^i)=\sum_{i=0}^{<\infty}~\sigma(c_i)\sigma(a^i)=\sum_{i=0}^{<\infty}~\sigma(c_i)\sigma(a)^i=\sum_{i=0}^{<\infty}~c_ia^i=x \end{eqnarray*}$
Homomorphie ausnutzen, dann, dass $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ Elemente aus K und a festlässt. (edit: Laufindizes waren falsch, sie müssen von 0 an laufen!)
Daraus folgt die andere Inklusion.

Es gilt also: $\begin{eqnarray*} Gal(L|K)=Gal(L|K(a)) \end{eqnarray*}$
aber natürlich auch das schwächere $\begin{eqnarray*} |Gal(L|K)|=|Gal(L|K(a))| \end{eqnarray*}$
Das kann man mit den Körpererweiterungsgraden gleichsetzen, so dass ich bekomme: $\begin{eqnarray*} [L:K(a)]*[K(a):K]=[L:K]=|Gal(L|K)|=|Gal(L|K(a))|=[L:K(a)] => [K(a):K]=1 => K(a)=K => a \in K \end{eqnarray*}$

Das war zu zeigen.
Einwände?

07.02.2006, 02:11

20_Cent

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hallo jochen, mein herzliches beileid, dass anscheinend keiner gut genug ist, dir zu helfen Augenzwinkern

Helft doch dem armen Jochen, er ist schon ganz deprimiert und will immer, dass ich ihm helfe *g*

Spam

07.02.2006, 11:05

Abakus

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RE: Noch mal Galois: Elemente, die durch alle K-Automorphismen festgehalten werden
Du benutzt in dem Beweis ja bereits, dass L:K eine Galois-Erweiterung ist. Ich verstehe darunter:

$\begin{eqnarray*} L:K \end{eqnarray*}$ Galois-Erweiterung $\begin{eqnarray*} :\Leftrightarrow K = F(L, G(L:K)) \end{eqnarray*}$

Dass L:K eine solche Erweiterung ist, sollst du hier jedoch gerade zeigen. (Es kann natürlich sein, dass du "Galois-Erweiterung" anders definiert hast?)

Für einen direkten Beweis fehlt mir, dass du die gegebenen Voraussetzungen anwendest (es. ex. ein Zerfällungspolynom f und das ist separabel).

Die Idee hier könnte vollständige Induktion nach der Anzahl m der nicht in K liegenden Nullstellen von f sein.

Grüße Abakus smile

07.02.2006, 13:06

JochenX

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Danke Abakus schon mal für deine Antwort:

Wir haben eine Köroererweiterung L|K als galoissch definiert, genau dann, wenn sie normal (das heißt Zerfällungskörper einer Familie von Polynomen) und separabel ist.
L|K erfüllt dies:
i) L ist Zerfällungskörper von dem (gegebenen) Polynom
ii) insbesondere ist das Minimalpolynom jedes Erzeugers (Polynomnullstellen) ein Teiler des gegebenen Polynoms, insbesondere also auch separabel.

Ich würde doch annehmen, dass wenn die Erezuger separabel sind, dass dann für jedes erzeugte Element gilt!?

L|K(a) erfüllt dies auch
i) das gegebene Polynom in K[X] lässt sich als Polynom in K(a)[X] auffassen, L ist dann normal über K bzgl. dieses Polynoms
ii) dieses Polynom ist immer noch separabel

Denkfehler?
Hier gehen natürlich die gegebenen Bedingungen ein....

Zitat:

Du benutzt in dem Beweis ja bereits, dass L:K eine Galois-Erweiterung ist. Ich verstehe darunter:

Zitat:

L:K

Galois-Erweiterung :\Leftrightarrow $\begin{eqnarray*} K = F(L, G(L:K)) \end{eqnarray*}$

Die rechte Schreibweise ist mir nicht bekannt. Enstpricht das der Definition von oben?

Danke!

07.02.2006, 19:58

Abakus

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RE: Noch mal Galois: Elemente, die durch alle K-Automorphismen festgehalten werden
Mit eurer Definition einer Galois-Erweiterung sieht deine Beweisidee gut aus.

Meine Bezeichnungen sind wie folgt:

$\begin{eqnarray*} G(L:K) := \{\sigma \in Aut~ L : \sigma(k) = k~f.a.~ k \in K\} \end{eqnarray*}$ , (die Galois-Gruppe),
$\begin{eqnarray*} F(L, A) := \{x \in L : \sigma(x) = x~f.a.~ \sigma \in A\} \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} A \subseteq G(L:K) \end{eqnarray*}$ (der Fixkörper von A in L).

Grüße Abakus smile

07.02.2006, 20:12

JochenX

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Hey, danke für die Bestätigung.... Wink

deine Definition von Galoisgruppe entspricht genau unserer.....
F(L, Gal(L|K) ist dann also nur eine Kurzschreibweise der Ausformulierung der Aufgabe (linke Seite), auch geschnallt....

Definition von Galoiserweiterung über Galoisgruppen halte ich eher für kritisch, sollte in deiner Definition nicht lieber "neutral" die menge der K-Automorpismen von L stehen?
also: $\begin{eqnarray*} L|K \text{ Galoiserweiterung } <=> K= F(L, Aut_L(K)) \end{eqnarray*}$ !?
würde glaube ich mehr Sinn machen, da man bei Nichtgaloiserweiterungen wohl nicht von Galoisgruppen redet....

aah, für Teilmengen (oder wohl eher nur speziell für Untergruppen!?) der Galoisgruppe definiert man also den Fixkörper so.... interessant, der ist dann wohl ein Zwischenkörper zwischen K und L..... (ist F(L,A) bei beliebigen Teilmengen A überhaupt ein Körper!?)
hmmm, also für Untergruppen der Galoisgruppe bekommt man so ja auf jeden Fall einen Zwischenkörper; die Menge der Zwischenkörper und der Untergruppen der Galoisgruppe ist ja bijektiv nach dem Hauptsatz, man bekommt damit also auch JEDEN zwischenkörper
Stimmt...... irgendwie sehe ich langsam die Zusammenhänge smile

Nochmal vielen Dank, wenn du magst kannst ja noch kurz die kursiven Fragen beantworten...

Grüße Jochen smile

07.02.2006, 21:03

Abakus

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Zitat:

Original von LOED
deine Definition von Galoisgruppe entspricht genau unserer.....
F(L, Gal(L|K) ist dann also nur eine Kurzschreibweise der Ausformulierung der Aufgabe (linke Seite), auch geschnallt....

Definition von Galoiserweiterung über Galoisgruppen halte ich eher für kritisch, sollte in deiner Definition nicht lieber "neutral" die menge der K-Automorpismen von L stehen?
also: $\begin{eqnarray*} L|K \text{ Galoiserweiterung } <=> K= F(L, Aut_L(K)) \end{eqnarray*}$ !?

Die Elemente von $\begin{eqnarray*} G(L:K) \end{eqnarray*}$ sind genau die K-Automorphismen von L (die eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} Aut~L \end{eqnarray*}$ bilden).

Zitat:

würde glaube ich mehr Sinn machen, da man bei Nichtgaloiserweiterungen wohl nicht von Galoisgruppen redet....

Die Gruppe $\begin{eqnarray*} G(L:K) \end{eqnarray*}$ heißt für beliebige Körpererweiterungen $\begin{eqnarray*} L:K \end{eqnarray*}$ die Galois-Gruppe von $\begin{eqnarray*} L:K \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} L:K \end{eqnarray*}$ muss insbesondere nicht endlich sein).

Zitat:

aah, für Teilmengen (oder wohl eher nur speziell für Untergruppen!?) der Galoisgruppe definiert man also den Fixkörper so.... interessant, der ist dann wohl ein Zwischenkörper zwischen K und L..... (ist F(L,A) bei beliebigen Teilmengen A überhaupt ein Körper!?)

A kann beliebige Teilmenge von $\begin{eqnarray*} G(L:K) \end{eqnarray*}$ sein. Es gilt aber: $\begin{eqnarray*} F(L, A) = F(L, <A>) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} <A> \end{eqnarray*}$ die von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G(L:K) \end{eqnarray*}$ erzeugte Untergruppe bezeichnet.

Grüße Abakus smile

EDIT: Es ist natürlich möglich, dass du einige Begriffe anders definiert hast.

07.02.2006, 21:19

JochenX

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okay, ich hatte halt gedacht der Name Galoisgruppe wird erst bei "Galoisschheit" sinnvoll, aber das ist ja wirklich reine Definitionssache und Namensgebung....

Das andere mit dem Erzeugnis von A ist interessant, da werde ich mal drüber nachdenken, das ist aber eigentlich relativ klar......bisschen Eigenarbeit für mich.

Wenn du magst, kannst ja auch noch in meinen anderen Thread zum Thema schauen; das Übungsblatt ist eh schon weg, aber interessieren tuts mich deswegen trotzdem noch lange!

Wink

03.03.2006, 19:27

JochenX

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Nachtrag der Vollständigkeit halber: es war so richtig.

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