Induktion

07.02.2006, 14:01

G@st

Induktion

Hy!!!
Ich habe super Probleme mit der vollständigen Induktion.
Mittlerweile bekomm ich zwar das ein oder andere hin, aber ich weiß eigentlich gar nicht was ich da im Prinzip genau mache.

Ich würd mich freuen, wenn ihr mir das ein oder andere an der folgenden Aufgabe erklären könntet:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Mein Induktionsananfang würde entsprechend so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1~k \frac{1(1+1)}{2} \end{eqnarray*}$ = 1

O.k., also funktioniert das, aber was heißt das eigentlich. Es sagen immer alle, überprüfe ob es mit 1,2... funktioniert.
Nur was? - Ob ich ein Ergebnis erhalte, wenn ich 1 einsetze?

Den Induktionsschritt würde ich dann so weiter machen:
n $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ n+1:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k = \sum_{k=1}^n~k+n+1 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{n-(n+1)}{2}+ n+1 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)2(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?
Aber vorallem was sagt mir jetzt die letzte Zeile?
Und muss ich sonst noch was machen bzw. beachten?

Bin dankbar für jede Hilfe Hilfe

07.02.2006, 14:27

JochenX

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RE: Induktion

Zitat:

Original von G@st
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

hier fehlt ein =

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1~k \frac{1(1+1)}{2} \end{eqnarray*}$ = 1

hier auch

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)2(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

hier fehlt ein +

erst mal gewöhne dir sorgfältigere arbeit an.
hast du das induktionsprinzip annähernd verstanden?

07.02.2006, 14:30

brunsi

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RE: Induktion
lies dir mal dazu den wikipedia link durch, den cih dir anhänge:

http://de.wikipedia.org/wiki/Induktion_%28Mathematik%29

07.02.2006, 14:51

G@ast

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RE: Induktion
@ brunsi

Danke für deine Antwort.
Ich versteh auf der Wikipedia Seite, aber eben den letzten Schritt nicht, warum muss dieser gemacht werden?
Ich weiß einfach nicht, was mir das Ergebnis sagt.
Die Induktion ist mir zwar bereits in vielen Rechenschritten klarer geworden, aber ich verstehe eben den Kern immer noch nicht...
Für eine weitere Erklärung wäre ich sehr dankbar.

07.02.2006, 14:55

JochenX

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das induktionsprinzip ist dir also nicht klar

deine hauptidee, nämlich der schritt von n nach n+1 ist der:
du zeigst, wenn es für irgendeine natürliche zahl gilt, dann gilt es für die nächste auch (vereinfachte form der induktion)

dank deinem induktionsanfang (da rechnest du es einfach für den ersten wer, also meistens n=1 nach) weißt du nun:
Formel gilt für n=1, damit gilt sie auch für deren nachfolger als n=2, damit gilt sie auch für deren nachfolger, also n=3, damit...... gilt sie für alle n aus IN

07.02.2006, 14:58

Dual Space

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RE: Induktion
OK, mal ein kleines Bsp.:
Du hast m Dominosteine hintereinander aufgestellt und hoffst, dass sie alle umfallen, wenn du das erste anschubst.

Ohne den ersten Stein anzustoßen, kannst du aber mittels vollständiger Induktion bewesien, dass alle umfallen, wenn der erste fällt. Das geht so:
Induktionsanfang: Der erste Stein fällt um (wenn du ihn anstößt). Naja ... trivialerweise erfüllt.
Induktionsbehauptung: Der n-te Stein fällt um.
Induktionsschritt: Du musst zeigen, dass der (n+1)te Stein fällt, wenn der nte Stein fällt. Oder anders ausgedrückt - dass der nte Stein den (n+1)ten umstößt. (Das kannst du machen indem du z.B. die Abstände der Steine überprüfst.)
Edit: Du zeigst also in dem Induktionsschritt, dass die Behauptung für ein n erfüllt ist, wenn sie für den Vorgänger, also (n-1) erfüllt ist.

Fazit: Du hast durch vollständige Induktion gezeigt, dass alle m Steine fallen werden.

Hoffentlich war das eine kleine Hilfe. Augenzwinkern

07.02.2006, 15:15

G@st

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RE: Induktion
Danke für eure tollen und vorallem auch anschaulichen Beispiele.
Diesen Grundgedanken hab ich meiner Meinung nach verstanden, auch wenn ihr das vielleicht aufgrund meiner folgenden Frage nicht ganz glaubt:

Mein Problem ist einfach, dass mit der Schluss nicht klar ist, woran erkenne ich durch ("meinen") letzten Punkt:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)+(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$
das quasi auch der letzte Dominostein umfällt bzw., dass es eben für n+1 gilt.

Vielleicht ist mein Schritt ja auch gar nich wirklich der letzte, aber den zusätzlichem Schritt von Wikipedia kann ich auch nicht folgen.

Es wäre super wenn ihr da nochmal drauf eingehen könntet.

07.02.2006, 15:22

Dual Space

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RE: Induktion
Erstmal musst du deinen Beweis noch mal korrekt aufschreiben (achte dabei darauf wo ein Produkt und wo eine Summe steht). Zur Zeit geht das bei dir drüber und drunter.

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