Schwerpunkt immer in Symmetrieebene

07.02.2006, 14:34

phi

Schwerpunkt immer in Symmetrieebene

Hallo,

Zitat:

Zeige: Besitzt eine intgrierbare Menge M eine affine Symmetriehyperebene H, so liegt der Schwerpunkt $\begin{eqnarray*} \overline{x}_M \end{eqnarray*}$ in H.

Der Schwerpunkt ist definiert durch $\begin{eqnarray*} \overline{x}_M:=|M|^{-1}\int_{M}^{}~x~dV \end{eqnarray*}$

In der vorigen Aufgabe hab ich bewiesen, dass Drehung und Verschiebung von M, auch eine identische Drehung und Verschiebung des Schwerpunkts bewirkt. Wendet man

$\begin{eqnarray*} \varphi(x)=Ux+b \end{eqnarray*}$ auf M an, folgt also

$\begin{eqnarray*} \overline{x}_M'= \varphi(\overline{x}_M)=U\overline{x}_M+b \end{eqnarray*}$ .

Es müsste also ein $\begin{eqnarray*} U \in O(n) \end{eqnarray*}$ geben, die H invariant lässt.

Durch ein festes a lässt sich die Hyperebene als SKP definieren:

$\begin{eqnarray*} H:= \{a, x\in \mathbb R ^{n-1}| \langle a,x \rangle=c \} \end{eqnarray*}$ , welche M in zwei symmtrische Halbräume teilt:

$\begin{eqnarray*} M_-:= \{a, x\in \mathbb R ^{n-1}| \langle a,x \rangle \leq c \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_+:= \{ a,x\in \mathbb R ^{n-1}| \langle a,x \rangle \geq c \} \end{eqnarray*}$ .

Das gesuchte $\begin{eqnarray*} U \in O(n) \end{eqnarray*}$ müsste also $\begin{eqnarray*} M_- \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M_+ \end{eqnarray*}$ überführen...Jetzt weiß ich aber nicht wie ich diese Puzzleteile zusammenkriege. Hilfe

Oder geht es viel einfacher indem ich einfach nur zeige dass der Schwerpunkt des Einheitswürfels $\begin{eqnarray*} [0,1]^n \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2}, ~ ... ~ ,\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ?

Vielen Dank schonmal, phi.

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