Vergleichskriterium/Majorantenkriterium

07.02.2006, 15:09

Krümel

Vergleichskriterium/Majorantenkriterium

Halli Hallo!!!
Die ganzen Konvergenzkriterien bringen mich ganz durcheinander.
Vorallem hab ich das mit dem Majorantenkriterium überhaupt nicht verstanden.

Unsere Definition lautet:
Gilt $\begin{eqnarray*} a_n \Rightarrow 0 und ist \mid b_n \mid \leq \mid a_n \mid \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so ist auch $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge.

Bildlich kann ich mir ganz gut vorstellen, was eine Majorante im Prinzip ist. Nur ich kann es überhaupt nicht nachweisen.
Davon mal abgesehen, weiß ich auch immer nicht, ob dieses oder jenes Kriterium anzuwenden ist.

Vielleicht weiß ja jemand Rat zu der folgenden Aufgabe:
Untersuchen sie $\begin{eqnarray*} ^2\sqrt{n+3}-^2\sqrt{n+2} \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz.
Ich tippe darauf, dass diese Folge gegen Null konvergiert und würd deshalb das Majorantenkriterum anwenden, nur wie gehe ich dabei vor?

Weiß jemand weiter oder hat nen Link wo ich vielleicht etwas schlauer draus werde?
DANKE

07.02.2006, 15:38

klarsoweit

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RE: Vergleichskriterium/Majorantenkriterium
Ich würde erstmal mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+3}+\sqrt{n+2} \end{eqnarray*}$ erweitern.

07.02.2006, 15:42

phi

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RE: Vergleichskriterium/Majorantenkriterium
Hallo,

Betrachte die Grenzwerte von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}, \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}, \sqrt{n+2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}, \sqrt{n+3} \end{eqnarray*}$ .

mfg, phi.

07.02.2006, 17:13

therisen

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Siehe hier

07.02.2006, 18:09

Krümel

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@ therisen
Danke für deinen Link.
Muss die selben Aufgaben lösen.
Und mit der einen Aufgabe bin ich nun dank dem Link fertig.
Aber mit dieser werd ich immer noch nicht grün.
Wie kommt man denn auf
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+3} \sqrt{n+2}} \end{eqnarray*}$

Kannst du mir erklären was er dort gemacht hat und ob ich dann überhaupt schließen darf, dass das gegen Null konvergiert. Das es das tut ist mir klar, aber gezeigt hab ichs dann ja nicht.

Vorallem stellt sich für mich immer noch die Frage, ob das Majorantenkriterium hier überhaupt funktioniert.

Ich hab mir erstmal noch folgendes überlegt:
das Wachstum der beiden Wurzeln nimmt ja gleich schnell zu und es bleibt im Prinzip ja nur der Unterschied +3 und +2, damit nimmt der Abstand ja quasi einen festen Wert an, was ja auf Konvergenz schließen lässt, naja ich habs eben noch nicht wirklich gerafft...
traurig

07.02.2006, 18:23

Großes Fragezeichen

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Hallo Krümel, ich muss auch dieselben Aufgaben machen...

Also wenn $\begin{eqnarray*} c_n=\sqrt{n+3}- \sqrt{n+2} \end{eqnarray*}$ ist, dann kann man das erweitern und dazu nimmt man die dritte binomische Formel zur Hilfe, kennst du ja..dann sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+3}- \sqrt{n+2}*\frac{\sqrt{n+3}+ \sqrt{n+2}}{\sqrt{n+3}+ \sqrt{n+2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{n+3-n-2}{\sqrt{n+3}+ \sqrt{n+2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}} \end{eqnarray*}$

So müsste das richtig sein. Und jetzt muss man das weiter abschätzen, aber da bin ich noch selber dran, vielleicht kann da wer helfen

Übrigens hast du da glaub ich im Nenner ein Plus vergessen Augenzwinkern

07.02.2006, 18:30

Krümel

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Oh man, danke schön!!!
Bin schon völlig durcheinander.
Hab mit falschen Ausgangswerten gerechnet und das hät ich wahrscheinlich noch den ganzen abend gemacht. Augen auf kann ich da nur sagen, aber vielleicht häng ich auch schon zu lang über den Sachen.
Danke schon mal dafür Tanzen

Vielleicht weiß ja jemand wie man jetzt weiter machen kann, falls ich noch drauf kommen sollte *hoff*, dann schreib ichs entsprechend hier rein...

07.02.2006, 18:45

therisen

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Zitat:

Original von Großes Fragezeichen
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}} \end{eqnarray*}$

So müsste das richtig sein. Und jetzt muss man das weiter abschätzen, aber da bin ich noch selber dran, vielleicht kann da wer helfen

Es ist nicht weiter schwer nachzuweisen, dass dies eine Nullfolge ist. Es genügt nämlich trivialerweise zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

Gruß, therisen

07.02.2006, 19:08

Großes Fragezeichen

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Kann man das dann also so aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}< \frac{1}{\sqrt{n+n}+\sqrt{n+n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <\frac{1}{2\sqrt{2n}}<\frac{1}{\sqrt{2n}} \end{eqnarray*}$

Auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ komm ich nicht, aber das ist ja praktisch das gleiche....

07.02.2006, 19:18

therisen

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Nein, das ist falsch. Deine Abschätzung gilt nämlich nur für $\begin{eqnarray*} n \leq 2 \end{eqnarray*}$ .

Um meine Umformung zu erhalten, klammere jeweils n in der Wurzel aus und lasse n gegen Unendlich gehen.

Gruß, therisen

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