LRP-Zerlegung

27.05.2008, 14:48	ddp	Auf diesen Beitrag antworten »
LRP-Zerlegung Hallo, folgende Aufgabe ist gegeben: Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit der LRP-Zerlegung $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 5 & 4 \\ 2 & 0 & 3 \\ 5 & 8 & 2 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} x_1 \\x_2 \\ x_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 12 \\ 9 \\ 5 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Bin mir bei meinem Lösungsweg nicht ganz sicher, ich poste ihn mal: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 5 & 4 \\ 2 & 0 & 3 \\ 5 & 8 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Nun muss ich das betragsmäßig-größte Element der Spalte 1 suchen diese Zeile mit der ersten Zeile vertauschen ("tausche Zeile 1 mit 3, da \|5\|>\|1\| oder \|2\|") $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 5 & 8 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & 4 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ dann dividiere ich die restlichen Elemente der ersten Spalte durch das "Kopfelement" $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 5 & 8 & 2 \\\frac{2}{5} & 0 & 3 \\ \frac{1}{5} & 5 & 4 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ dann subtrahiere ich in der Restmatrix überall das Produkt aus der ersten Spalte und der ersten Zeile $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 5 & 8 & 2 \\\frac{2}{5} & -3 \frac{1}{5} & 2 \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & 3 \frac{2}{5} & 3 \frac{3}{5} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ jetzt wieder wie oben das betragmäßig-größte Element der zweiten Spalte mit der zweiten Zeile verschoben ("tausche Zeile 2 mit 3"): $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 5 & 8 & 2 \\\ \frac{1}{5} & 3 \frac{2}{5} & 3 \frac{3}{5} \\ \frac{2}{5} & -3 \frac{1}{5} & 2 \frac{1}{5} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ dann dividiere ich die restlichen Elemente der ersten Spalte durch das "Kopfelement" $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 5 & 8 & 2 \\\ \frac{1}{5} & 3 \frac{2}{5} & 3 \frac{3}{5} \\ \frac{2}{5} & - \frac{16}{17} & 2 \frac{1}{5} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ dann subtrahiere ich in der Restmatrix ( $\begin{eqnarray} 2 \frac{1}{5} \end{eqnarray}$ ) das Produkt aus der zweiten Spalte und der zweiten Zeile $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 5 & 8 & 2 \\\ \frac{1}{5} & 3 \frac{2}{5} & 3 \frac{3}{5} \\ \frac{2}{5} & - \frac{16}{17} & 5 \frac{10}{17} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ dadurch das ich meine Zeilen verschoben habe ist die Permutationsmatrix jetzt statt $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ so --> $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 0 & 0 & \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ L ist die linke-untere Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ \frac{1}{5} & 1 & 0 \\ \frac{2}{5} & - \frac{16}{17} & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ R ist die rechte-obere Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 5 & 8 & 2 \\\ 0 & 3 \frac{2}{5} & 3 \frac{3}{5} \\ 0 &0 & 5 \frac{10}{17} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ A ist: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 5 & 4 \\ 2 & 0 & 3 \\ 5 & 8 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ jetzt habe ich folgendes gegeben: $\begin{eqnarray} Ax=b \Rightarrow PAx=Pb \Rightarrow LRx=Pb \end{eqnarray}$ im ersten Schritt: Aus dem Ansatz $\begin{eqnarray} Rx=y \end{eqnarray}$ wird die Gleichung zu $\begin{eqnarray} Ly=Pb \end{eqnarray}$ Diese Gleichung löse ich dann nach y auf und im zweiten Schritt kann ich mit dem nun bekannten y den Ansatz $\begin{eqnarray} Rx=y \end{eqnarray}$ nach x auflösen? so korrekt? danke schonmal für das grausig viele durchlesen Viele Liebe Grüße
27.05.2008, 17:48	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab nicht alles nachgerechnet, vom Prinzip ists aber genau richtig. Am besten du löst noch, und setzt zur Probe ein, dann siehst du, ob dus richtig gelöst hast. mfG 20
27.05.2008, 21:04	ddp	Auf diesen Beitrag antworten »
okay danke passt... auf die probe hätte ich depp auch selbst kommen können danke schön

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