Beziehungen in platonischen Körper

07.02.2006, 16:26

fanie

Beziehungen in platonischen Körper

Hallo,

Um die Anzahl der fünf platonischen Körper zu beweisen, hat man Anfangs drei Beziehungen, welche in diesen Körpern gelten.

1. Jede Kante inzidiert mit genau zwei Ecken, also ist em=2k

2. Jede Ecke gehört zu genau m Flächen, also ist em= fn

3. Jede Kante begrenzt zwei Flächen, also ist 2k = fn

Wobei e die Anzahl der Ecken ist,
k die Anzahl der Kanten,
f die Anzahl der Flächen,
m die Anzahl der Polygone in einer Ecke und
n die Anzahl der Ecken des begrenzenden Polygons.

Jedoch ist mein Problem, dass ich nicht verstehe, wie man von der "wörtlichen" Beziehung auf die mathematische kommt. Das heißt, ich verstehe nicht, z.B. wieso, wenn eine Kante genau zwei Ecken verbindet, em=2k gilt.

Ich hoffe ihr habt mein Problem verstanden und könnt mir helfen.

Fanie

07.02.2006, 16:50

Leopold

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Betrachte eine Kante. Sie hat zwei Ecken. Daher denkt man auf den ersten Blick, daß $\begin{eqnarray*} e = 2k \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn man aber die Sache jetzt von einer Ecke aus sieht, so wird einem klar, daß man mit der vorläufigen Formel jede Ecke so oft gezählt hat, wie sie Mitglied einer Kante ist. Das muß man korrigieren, so daß $\begin{eqnarray*} e = \frac{2k}{m} \end{eqnarray*}$ die richtige Formel ist.

Nimm als Beispiel den Würfel. Er hat $\begin{eqnarray*} k = 12 \end{eqnarray*}$ Kanten. Da jede Kante zwei Ecken hat, kommt man auf $\begin{eqnarray*} e = 2k = 24 \end{eqnarray*}$ Ecken. Aber halt - da kann etwas nicht stimmen! Der Fehler liegt darin, daß z.B. die Ecke $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ den Kanten $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ angehört. Bei der obigen Verdoppelung wurde sie sowohl bei $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ als auch bei $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ als auch bei $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ mitgezählt, also dreifach gezählt. Das muß man korrigieren:

$\begin{eqnarray*} e = \frac{2k}{m} = \frac{24}{3} = 8 \end{eqnarray*}$

Und so stimmt es.

08.02.2006, 12:59

quarague

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um zu zeigen, dass es nur 5 platonische Körper gibt, brauchst du aber noch eine Beschränkung nach oben. Deine Gleichungen haben noch unendlich viele ganzzahlige Lösungen.
Ein platonischer Körper ist konvex, damit ist die Summe der Innenwinkel der Flächen, die an einer Ecke zusammenstossen kleiner als 360°.
Ein reguläres Polygon mit n Ecken hat Innenwinkel der Größe (n-2)/n*180°
Du bekommst also die zusätzliche Ungleichung:
(n-2)/n*180°*m < 360°
beziehungsweise:
(n-2)/n * m < 2
wenn du die mit einbeziehst, bekommst du genau die 5 platonischen Körper als die ganzzahligen Lösungen deines Systems.

08.02.2006, 18:56

Leopold

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Zitat:

Original von quarague
um zu zeigen, dass es nur 5 platonische Körper gibt, brauchst du aber noch eine Beschränkung nach oben. Deine Gleichungen haben noch unendlich viele ganzzahlige Lösungen.

Ein anderer Zugang verwendet die Eulersche Polyederformel.

$\begin{eqnarray*} e = \frac{2k}{m} \, , \ \ f = \frac{2k}{n} \end{eqnarray*}$

Einsetzen in $\begin{eqnarray*} e - k + f = 2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{2k}{m} - k + \frac{2k}{n} = 2 \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{(*)} \ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ zeigt für $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ die notwendige Bedingung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} + \frac{1}{n} > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Zunächst ist klar, daß $\begin{eqnarray*} m,n \geq 3 \end{eqnarray*}$ gilt. Wäre nun $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n \geq 6 \end{eqnarray*}$ , so ergäbe sich der Widerspruch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \leq \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Daher gilt $\begin{eqnarray*} 3 \leq m,n \leq 5 \end{eqnarray*}$ . Es verbleiben also noch 9 Fälle. Hiervon sind $\begin{eqnarray*} m=4,n=4 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} m=4,n=5 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} m=5,n=4 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} m=5,n=5 \end{eqnarray*}$ unbrauchbar. Die Summe der Kehrwerte ist nämlich ebenfalls jeweils $\begin{eqnarray*} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Die verbleibenden fünf Fälle liefern dann in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ auch ein sinnvolles $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , mit dem sich schließlich $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach den Eingangsformeln berechnen lassen.

Das alles zeigt natürlich überhaupt nicht die Existenz der Platonischen Körper.

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