Grenzwert

07.02.2006, 20:47

Kanisi

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Grenzwert

wie berechne ich den Grenzwert dieser beiden Funktionen?
1. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{x} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{ ln(x)^{1234}}{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

dann hab ich noch ein anderes Problem ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} e^x\cdot e^y=e^{x+y} \end{eqnarray*}$ gilt. Und zwar mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} (\sum_{k=0}^\infty~\frac{ x^{k}}{k!})\cdot (\sum_{k=0}^\infty~\frac{ y^{k}}{k!}) \end{eqnarray*}$ . Ich habs so umformuliert, dass ich auf diese Gleichung komme, aber nicht weiter weiss: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~(x+y)^e \end{eqnarray*}$

danke für eure Hilfe liebe grüsse

07.02.2006, 20:56

phi

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RE: Grenzwert
Bei den ersten beiden lautet die Frage: Was wächst schneller

1. $\begin{eqnarray*} a^{x} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ ? bzw.

2. $\begin{eqnarray*} ln(x)^{n} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ?

und beim 3. brauchst du das Cauchy-Produkt.

07.02.2006, 20:58

Kanisi

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ich weiss das ich das cauchy produkt verwenden muss, nur hab ich problem dieses produkt zu lösen.

07.02.2006, 21:31

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Kanisi
2. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{ ln(x)^{1234}}{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

Das ist sehr uneindeutig. Was meinst du damit? $\begin{eqnarray*} (\ln x)^{1234} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \ln(x^{1234}) \end{eqnarray*}$ ? Und beim dritten: Zeig doch mal, was du schon hast.

Gruß MSS

07.02.2006, 21:45

Kanisi

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bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{x} \end{eqnarray*}$ sollte ich über $\begin{eqnarray*} x^{x} = e^{xln(x)} \end{eqnarray*}$ den Grenzwert herleiten, aber ich weiss nicht was ich damit anfangen soll.

$\begin{eqnarray*} (lnx)^{1234} \end{eqnarray*}$ ist gemeint.

habe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\sum_{\gamma =0}^k~\frac{x^{\gamma}(y^{k- \gamma})}{\gamma! (k- \gamma)!} \end{eqnarray*}$ und weiter weiss ich nicht weiss auch nicht ob das so stimmt!

07.02.2006, 22:14

Mathespezialschüler

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Naja, du sollst halt erstmal $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}x\cdot \ln x \end{eqnarray*}$ bestimmen! Was weißt du denn dazu und zur zweiten Aufgabe?
Bei der dritten, erweitere mit $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\left(\sum_{\gamma=0}^k~\frac{x^{\gamma}y^{k-\gamma}}{\gamma!(k-\gamma)!}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}~\left(\frac{1}{k!}\cdot \sum_{\gamma=0}^k~\frac{k!}{\gamma!(k-\gamma)!}x^{\gamma}y^{k-\gamma}\right) \end{eqnarray*}$ .

Wende nun die Definition des Binomialkoeffizienten an und benutze den Binomischen Satz!

Gruß MSS

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07.02.2006, 22:22

Kanisi

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d.h bei der 1.wenn x gegen 0 geht, dann geht xlnx gegen 0 und somit der ganze Term nach 1

bei der 2. wende ich den hopital an, aber dann hab ich einen Term der nicht einfacher aussieht

und beim 3. komm ich dann auf $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{(x+y)^{e}}{k!} \end{eqnarray*}$ stimmt das soweit?

07.02.2006, 22:31

Mathespezialschüler

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1. ist korrekt, aber die Formulierung "nach 1" ist etwas unüblich.
Wie kommst du denn da immer auf $\begin{eqnarray*} (x+y)^{\operatorname e} \end{eqnarray*}$ ?? Mit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ ist das richtig. Zu 2.:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\ln x)^{1234}}{\sqrt{x}}=\left(\frac{\ln x}{x^{\frac{1}{2468}}}\right)^{1234} \end{eqnarray*}$ .

Wende jetzt auf $\begin{eqnarray*} \frac{\ln x}{x^{\frac{1}{2468}}} \end{eqnarray*}$ l'Hospital an.

Gruß MSS

07.02.2006, 22:38

Kanisi

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weil man uns $\begin{eqnarray*} \sum_{\gamma=0}^k~\begin{pmatrix} k \\ \gamma \end{pmatrix}(x^{\gamma })(y^{k- \gamma })=(x+y)^{e} \end{eqnarray*}$ gegeben hat stimmt das in dem Fall nicht?

für das 2. erhalte ich dann: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{2468}= \infty \end{eqnarray*}$ stimmt das?

07.02.2006, 22:56

Mathespezialschüler

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Natürlich nicht! War sicher nur ein Schreibfehler (oder ein Übertragungsfehler von dir). Es gilt natürlich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{\gamma=0}^k~{k\choose \gamma}x^{\gamma}y^{k-\gamma}=(x+y)^k \end{eqnarray*}$ .

Zu 2.: Wie kommst du darauf? Das ist falsch!

Gruß MSS

07.02.2006, 22:59

Kanisi

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und das ist dann gleich $\begin{eqnarray*} e^{(x+y)} \end{eqnarray*}$ !!

dann hab ich irgendwo beim ableiten einen Fehler gemacht

07.02.2006, 23:02

Mathespezialschüler

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Ja, hast du. Wende doch mal stur die Potenzregel an.

Gruß MSS

07.02.2006, 23:04

Kanisi

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Potenzregel?

das ergibt aber nicht $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2} \cdot {(\frac{lnx} {x^{\frac{1}{2468}}})^{1233}} \end{eqnarray*}$

und die innere Ableitung brauchst du nicht?

07.02.2006, 23:07

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} f(x)=x^r\Rightarrow f'(x)=rx^{r-1} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

07.02.2006, 23:26

Kanisi

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wenn ich aber nur stur di ePotenzregel betrachte soll das den Term vereinfachen ich glaub ich hab nen Knopf in der Leitung!

07.02.2006, 23:29

Mathespezialschüler

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Wende doch einfach mal l'Hospital an und zeig, was du bekommst!

Gruß MSS

07.02.2006, 23:35

Kanisi

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das was ich vorhin geschrieben habe mit -0.5 mal......
was wahrscheinlich wiedermal nich stimmt

08.02.2006, 00:59

Mathespezialschüler

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Zeig doch mal, wie du das machst!

Gruß MSS

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