Schwerpunkt eines Halbkreises

27.05.2008, 19:47	Chris1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt eines Halbkreises Hey, wir haben heute die Schwerpunktlage eines Halbkreises nachgewiesen und ich wollte es nochmal nach einer anderen Methode probieren, doch ich wunder mich, warum ich nicht zum richtigen Ergebnis komme. Vielleicht kann mir ja einer helfen. Also $\begin{eqnarray} x_s=0 \end{eqnarray}$ ist klar. und für $\begin{eqnarray} y_s \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} y_s=\frac{1}{A}\int_{A}^{}~y~dA \end{eqnarray}$ Flächeninhalt eines Halbkreises: $\begin{eqnarray} A=\frac{1}{2}\pi r^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=rsin\phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow y_s=\frac{2}{\pi r^2}\int_{A}^{}~r sin \phi~dA \end{eqnarray}$ Für ein infinitesimal kleines Flächenstück gilt nach Formel für Kreisausschnitt $\begin{eqnarray} (A=\frac{1}{2}r^2 \phi) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} dA=\frac{1}{2} r^2 d \phi \end{eqnarray}$ Das nun alles einsetzen ergibt: $\begin{eqnarray} y_s=\frac{2}{\pi r^2} \int_{0}^{\pi}~r sin(\phi)\frac{1}{2}r^2 ~d \phi = \frac{r}{\pi} \int_{0}^{\pi}~sin(\phi)~d \phi \end{eqnarray}$ Aber so kommt man nicht auf die geforderten $\begin{eqnarray} y_s=\frac{4r}{3\pi} \end{eqnarray}$
27.05.2008, 20:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenbar meinst du den oberen Halbkreis. Irgendwie scheinst du $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ in verschiedenen Bedeutungen zu verwenden, einmal als Variable für die Polarkoordinaten, einmal als Parameter für den Radius des gegebenen Kreises. So nimmt das Unheil denn seinen Lauf ...
27.05.2008, 20:12	Chris1987	Auf diesen Beitrag antworten »
könnte man es nach diesem weg trotzdem lösen, wenn man einen unterschied macht ? zB r1,r2 EDIT: Sind die nicht sowieso gleich ?
28.05.2008, 14:53	Asymptote	Auf diesen Beitrag antworten »
schau mal wo der Schwerpunkt des von dir verwendeten infinitesimalen Kreissektors liegt. Ich nenne mal den Radius des Halbkreises R, den Abstand des Schwerpunktes des Kreissektors $\begin{eqnarray} y_K \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} y_K=2/3Rd\phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dA=1/2RRd\phi=1/2R^2d\phi \end{eqnarray}$ Dann erhalte ich für den von dir gesuchten Schwerpunkt: $\begin{eqnarray} y_s=1/A\int_0^\pi y_K1/2R^2 d\phi \end{eqnarray}$ und weiter $\begin{eqnarray} y_s=1/A\int_0^\pi 2/3R\sin\phi1/2R^2 d\phi \end{eqnarray}$ vereinfacht $\begin{eqnarray} y_s=1/A\int_0^\pi 1/3R^3\sin\phi d\phi \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} y_s=1/31/AR^3[-cos\phi]_0^\pi \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} 21R^3(1+1)/(\piR^2)=4R/3\pi \end{eqnarray}$ und das sollte doch rauskommen!
08.04.2015, 13:45	RB7	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich weiß, dass das Thema schon richtig alt ist. Trotzdem check ich da was nicht. Wie wird bei Yk aus 2/3 R*dPhi 2/3 R sin(Phi) kann mir das jemand erklären? Im Idealfall geometrisch?
08.04.2015, 14:05	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier wird anscheinend ausgenutzt, dass für kleine Winkel der Sinus mit dem Winkel annähernd übereinstimmt. Viele Grüße Steffen
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08.04.2015, 15:33	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
in Polarkoordinaten gilt einfach -wie oben steht $\begin{eqnarray} y=r\cdot sin\theta \end{eqnarray}$ und für das Flächenelement $\begin{eqnarray} dA=r\cdot dr\cdot d\theta \end{eqnarray}$ und daraus $\begin{eqnarray} y_S=\frac{\int_{}^{} \! y \, dA }{A}=\frac{\int_{0}^{\pi} \! \, \int_{0}^{r} \! r\cdot sin\phi\cdot r \, d\phi\cdot dr }{A} \end{eqnarray}$ Ergebnis siehe oben

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