Maximum-Likelihood Schätzer

27.05.2008, 19:51

Timo85

Maximum-Likelihood Schätzer

Kann mir jemand hierbei helfen?

Seien $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig und identisch $\begin{eqnarray*} B^*(s, p) \end{eqnarray*}$ verteilt mit $\begin{eqnarray*} s = 2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} B^*(s,p) \end{eqnarray*}$ bedeutet die gestutzte Binomialverteilung. Die Dichte der gestutzten Binomialverteilung ist

$\begin{eqnarray*} P^*(X = i) = \binom{s}{i} \frac{p^i \cdot (1-p)^{s-i}}{1-(1-p)^s} \end{eqnarray*}$ .

Gesucht ist nun der Maximum-Likelihood Schätzer für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

Wie man einen ML-Schätzer weiß ich, aber leider komme ich nicht auf die Likelihood bzw. die Log-Likelihood.

Danke schon mal für Eure Hilfe.

27.05.2008, 20:01

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RE: Maximum-Likelihood Schätzer

Zitat:

Original von Timo85
$\begin{eqnarray*} B^*(s,p) \end{eqnarray*}$ bedeutet die gestutzte Binomialverteilung. Die Dichte der gestutzten Binomialverteilung ist

$\begin{eqnarray*} P^*(X = i) = \binom{s}{i} \frac{p^i \cdot (1-p)^{s-i}}{1-(1-p)^s} \end{eqnarray*}$ .

Gestutzt ... gestutzt bei 0 (also 0 weggelassen)? Soll also heißen

$\begin{eqnarray*} P^*(X = i) = \binom{s}{i} \frac{p^i \cdot (1-p)^{s-i}}{1-(1-p)^s} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,\ldots,s \end{eqnarray*}$ ?

Den Fall $\begin{eqnarray*} s=2 \end{eqnarray*}$ kannst du dann ja mal direkt ausschreiben:

$\begin{eqnarray*} P^*(X = 1) = \frac{2-2p}{2-p} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P^*(X = 2) = \frac{p}{2-p} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Timo85
Wie man einen ML-Schätzer [...] weiß ich, aber leider komme ich nicht auf die Likelihood bzw. die Log-Likelihood.

[...] = ausrechnet ? oder was sonst?

Eigentlich kommt erst das Aufstellen der Likelihood-Funktion, und dann durch deren Maximierung das Berechnen des ML-Schätzers. Ich verstehe also nicht, wie du es schaffst, den zweiten Schritt zu tun, ohne dass du in der Lage bist, den ersten vorher zu tun? verwirrt

Also wo genau besteht jetzt dein Problem?

27.05.2008, 20:05

Timo85

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Ist die Likelihood nicht das Produkt der Dichten? Weil wir hier $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen haben?

27.05.2008, 20:09

Timo85

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Es sollte da $\begin{eqnarray*} p = 2 (1- \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n X_i}) \end{eqnarray*}$ rauskommen.

27.05.2008, 20:35

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Zitat:

Original von Timo85
Ist die Likelihood nicht das Produkt der Dichten? Weil wir hier $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen haben?

Richtig.

Zitat:

Original von Timo85
Es sollte da $\begin{eqnarray*} p = 2 (1- \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n X_i}) \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Stimmt ebenfalls.

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Fang doch mit der Likelihhoodfunktion an:

$\begin{eqnarray*} L(p; x_1,\ldots,x_n) = P(X=1)^a \cdot P(X=2)^b \end{eqnarray*}$ ,

falls genau $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -mal Wert 1 und genau $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ -mal Wert 2 unter den Argumenten $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ vorkommt.

Wenn man die Argumentsumme $\begin{eqnarray*} z=\sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$ bezeichnet, dann ist offenbar $\begin{eqnarray*} z=a+2b \end{eqnarray*}$ . Zusammen mit der Stichprobenanzahl $\begin{eqnarray*} n=a+b \end{eqnarray*}$ kann man somit dann $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n,z \end{eqnarray*}$ darstellen:

$\begin{eqnarray*} a=2n-z,\quad b=z-n \end{eqnarray*}$ .

Es folgt für die Log-Likelihoodfunktion

$\begin{eqnarray*} \ln L(p; x_1,\ldots,x_n) = a\cdot \ln\frac{2-2p}{2-p} + b\cdot \ln\frac{p}{2-p} = (2n-z)\ln(2-2p) + (z-n)\ln(p) - n\ln(2-p) \end{eqnarray*}$ .

Und die gilt es jetzt bzgl. $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ zu maximieren.

27.05.2008, 22:07

Timo85

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Danke für deine Hilfe...

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