Abstand pos -> N in Richtung Punkt?

07.02.2006, 22:34

aRo

Abstand pos -> N in Richtung Punkt?

Hallo!

Stimmt es, dass wenn sich ein Abstand einer Ebene zu einem Punkt positiv ergibt, dass der Normalenvektor dann in Richtung des Punktes zeigt?

aRo

07.02.2006, 22:34

marci_

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wenn du ohne betragsstriche bei der HNF rechnest dann schon?!

07.02.2006, 22:39

aRo

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hihi...

ja, "im Prinzip" ohne...

aRo

07.02.2006, 23:34

Ace Piet

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RE: Abstand pos -> N in Richtung Punkt?
Zunächst mal kann ich bei einer HNF einer Ebene $\begin{eqnarray*} E: x \cdot n = d \geq 0 \end{eqnarray*}$ stets erreichen. Es besagt, dass n vom Ursprung weg zeigt.

Für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ bedeutet nun $\begin{eqnarray*} a \cdot n > d \end{eqnarray*}$ , daß a auf "fernen" Seite der Ebenen liegt, entsprechend $\begin{eqnarray*} a \cdot n < d \end{eqnarray*}$ , daß a in dem Halbraum liegt, der die 0 enthält.

Nehme das Bsp. mit $\begin{eqnarray*} n= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und d=1. Es ist die um 1 hochgeschobene 1-2-Ebene.

Die Punkte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ haben je positives Skalarprodukt mit n, liegen jedoch auf "verschiedenen" Seiten.

Wenn ich Deine frage wörtlich nehme, dann ist d(a; E) > 0 <=> $\begin{eqnarray*} a \notin E \end{eqnarray*}$ ; egal was für ein n ich benutze.

07.02.2006, 23:49

Poff

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RE: Abstand pos -> N in Richtung Punkt?
'Nein',

aRo's Vermutung ist richtig, vorausgesetzt die HNF entspricht der
vorgeschriebenen Norm.

08.02.2006, 00:49

Ace Piet

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RE: Abstand pos -> N in Richtung Punkt?
> 'Nein'
Nehme obiges Beispiel mit der Ebenen $\begin{eqnarray*} E: x_3 = 1 \end{eqnarray*}$ und dem Punkt P(0; 0; -1). Die Normale zeigt weg von P, aber der Abstand ist d(P, E) = 2 > 0. - Abstände haben die Eigenschaft nie negativ zu sein und ich bleibe dabei, es ist d(P, E) = 0 <=> $\begin{eqnarray*} P \in E \end{eqnarray*}$ .Mehr gibt es für Abstände nicht zu gewinnen.

Wie oben gezeigt, kann ich den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ mit Hilfe einer Ebenen E in zwei Halbräume U und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ zerlegen, konkret ist $\begin{eqnarray*} U := \{ x \in \mathbb R^3 \mid x \cdot n \leq d \} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} d \geq 0 \end{eqnarray*}$ aus der HNF stammt ,derart, daß offenbar $\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E \subset U \end{eqnarray*}$ . - Naiv bedeutet das, über E wird unten bzw. oben im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ definiert.

Für weitere "Neins" bitte um Nein gegen was und idealerweise ein Gegenbeispiel zu dem, was ich gerade gezeigt habe.

Wink

-Ace-

08.02.2006, 00:54

riwe

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RE: Abstand pos -> N in Richtung Punkt?
OT
armer poff!
werner

08.02.2006, 22:43

aRo

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RE: Abstand pos -> N in Richtung Punkt?

Zitat:

Original von Ace Piet
Nehme das Bsp. mit $\begin{eqnarray*} n= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und d=1. Es ist die um 1 hochgeschobene 1-2-Ebene.

Die Punkte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ haben je positives Skalarprodukt mit n, liegen jedoch auf "verschiedenen" Seiten.

Wenn ich Deine frage wörtlich nehme, dann ist d(a; E) > 0 <=> $\begin{eqnarray*} a \notin E \end{eqnarray*}$ ; egal was für ein n ich benutze.

$\begin{eqnarray*} E: x_3 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{HNF} : x_3 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_1(0|0|2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_2(0|0|0.5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(E,P_1) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d(E,P_2) = -0.5 \end{eqnarray*}$

und der Normalenvektor zeigt zu P1.

Zitat:

Nehme obiges Beispiel mit der Ebenen $\begin{eqnarray*} E: x_3 = 1 \end{eqnarray*}$ und dem Punkt P(0; 0; -1). Die Normale zeigt weg von P, aber der Abstand ist d(P, E) = 2 > 0. - Abstände haben die Eigenschaft nie negativ zu sein und ich bleibe dabei, es ist d(P, E) = 0 <=> $\begin{eqnarray*} P \in E \end{eqnarray*}$ .Mehr gibt es für Abstände nicht zu gewinnen.

der Abstand ist auch hier $\begin{eqnarray*} |-2| \end{eqnarray*}$

Also deine Argumentation leuchtet mir nicht sonderlich ein...

aRo

08.02.2006, 23:00

riwe

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RE: Abstand pos -> N in Richtung Punkt?
ich würde poff vertrauen!
werner

08.02.2006, 23:04

aRo

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ich glaub auch. mein lehrer hat meine ich auch mal sowas gesagt. das kann man doch auch irgendwie beweisen, je nach dem, ob der cosinus negativ oder positiv wird. aber das krieg ich jetzt nicht hin Augenzwinkern

muss ich mir nochmal alles vorher angucken (auch immerhin fast 3/4jahre her oder so).
was meint poff denn mit der "vorgeschriebenen Form"? Was gibtsn da groß zu beachten?

aRo

09.02.2006, 00:09

Poff

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Vergiss das mit der 'vorgeschriebenen Form', damit meinte ich
u.a. die übliche Richtung des Normalenvektors in der HNF.

Die ganze Sache ist aber unabhängig davon, dh. gleich wie auch
der Normalenvektor gewählt ist gilt (Ebene E, Punkt P)

HNF_E(P) > 0 bedingt: P aus (E+t*n)=:M, t>0 (dh. n zeigt in M)
HNF_E(P) < 0 bedingt: P aus (E -t*n), t>0 (n zeigt nicht in Zielmenge)

gleichermaßen gilt das nun für die Form mit umgedrehten
Normalenvektor.

09.02.2006, 01:27

Ace Piet

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RE: Abstand pos -> N in Richtung Punkt?
(aRo)
$\begin{eqnarray*} d(E,P_2) = -0.5 \end{eqnarray*}$

Verstehe. - Abstände können negativ sein(?!). Das ist nicht meine Mathematik.
Habe ich wohl so eine Metrik d von wegen $\begin{eqnarray*} d(x,y) \geq 0 \end{eqnarray*}$ mißgedeutet...

Und ansonsten (um weiteren Schaden (im Forum) zu vermeiden) halte ich über einen Punkteabstand d(x,y) für einen fixen Punkt P=x zu einer Menge Y die Definition $\begin{eqnarray*} d(x, Y) := inf \{ d(x, y) \in \mathbb R \mid y \in Y \} \end{eqnarray*}$ für gültig, halt die größte untere Schranke reeller Werte d(x,y) über allen Punkten $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ , man möge sich das mal für so ein kreisrundes Venn-Beispiel Y und ein x mal außerhalb aufzeichnen... Jetzt ohne Tel.Joker und Publikumsfrage: d(x,y) wäre der nächste Strich von x zum Rand von y...

Zwischengezeter: Sollte dieses $\begin{eqnarray*} x \in Y \end{eqnarray*}$ sein, dann ist d(x,y)=0 für alle Zeiten und damit d(x,Y) =0.

Dann kommt man auf die Idee, daß Y die Erweiterung eines ein-elementigen Y = {x} ist : So ein d(x,Y) ist ebenfalls $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ und mit dem Infimum fordert man topologisch offenbar Randpunkte von Y an, die am nächsten zu x liegen, mit einem Supremum (so nebenher) würde ich die entferntesten (Rand-)Punkte (von einem Y zu einem x) suchen (war nicht gefragt). - Geht klar?!

Wink

-Ace-

09.02.2006, 14:35

aRo

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natürlich können abstände nicht negativ sein, aber je nach dem welches vorzeichen sich für den wert innerhalb der betragsstriche ergibt, kann man daraus schlüsse ziehen.

so gilt doch zB auch, dass wenn man eine Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ hat und die Punkte $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ und man errechnet die Abstände der Punkte zur Ebene mit der HNF:

- ergeben sich gleich Sigma, so befinden sich die beiden Punkte im gleichen durch $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ definierten Halbraum

- ergeben sich entgegengesetzte Sigma, so befinden sich die Punkte jeweils im anderen Halbraum.

Natürlich sind die Abstände der Punkte zur Ebene alle positiv.... Augenzwinkern

aRo

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