automatische Linearität

08.02.2006, 03:58

Ace Piet

automatische Linearität

(Teil I)
Ich überlege, ob eine bijektive Abb. $\begin{eqnarray*} f: G \longrightarrow H \end{eqnarray*}$ , wobei G und H je Gruppen sind, sofort ein Grpn.Homomorphismus ist.

Überlegt habe ich mir ff.:
Sei G Grp. bzgl. $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ und H bzgl. $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ , dann ist mit $\begin{eqnarray*} x, y \in G \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} f(x), f(y), f(x \otimes y) \in H \end{eqnarray*}$ und die beiden Gleichungen $\begin{eqnarray*} f(x \otimes y) = f(x) \cdot B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x \otimes y) = A \cdot f(y) \end{eqnarray*}$ sind jeweils eindeutig mit einem $\begin{eqnarray*} A,B \in H \end{eqnarray*}$ lösbar.
Damit wäre zunächst $\begin{eqnarray*} f(x) \cdot B = A \cdot f(y) \end{eqnarray*}$ und die Bijektivität impliziert $\begin{eqnarray*} B = f(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A = f(x) \end{eqnarray*}$ , kurz: $\begin{eqnarray*} f(x \otimes y) = f(x) \cdot f(y) \end{eqnarray*}$ . *fertisch*

(Teil II)
$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist ein Körper, ergo sind $\begin{eqnarray*} G := (\mathbb R, +) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H := (\mathbb R^+, \cdot) \end{eqnarray*}$ je Gruppen und f gegeben durch $\begin{eqnarray*} f(x) := e^x \end{eqnarray*}$ ist bijektiv, hat Umkehrabb ln und man hat automatisch:
$\begin{eqnarray*} e^{x+y} = e^x \cdot e^y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ln(a \cdot b) = ln(a) + ln(b) \end{eqnarray*}$ über Teil I.

Mache ich irgendwo einen Fehler?

Wink

-Ace-

08.02.2006, 07:28

Leopold

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Zitat:

Original von Ace Piet
Mache ich irgendwo einen Fehler?

Und was für einen!

Zitat:

Original von Ace Piet
und die Bijektivität impliziert $\begin{eqnarray*} B = f(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A = f(x) \end{eqnarray*}$

Schon der einfachste denkbare Fall widerlegt dich. Betrachte die additive Gruppe $\begin{eqnarray*} G = \mathbb{Z}_2 = \{ 0 , 1 \} \end{eqnarray*}$ des Körpers mit zwei Elementen und die Bijektion

$\begin{eqnarray*} f: \ \mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_2 \, , \ \ x \mapsto x+1 \end{eqnarray*}$

und nimm $\begin{eqnarray*} x=0, y=1, a=0, b=1 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt offenbar

$\begin{eqnarray*} f(x+y) = f(x) + b = a + f(y) \end{eqnarray*}$

Das war also nichts mit Beweisvereinfachungen für künftige Mathematikergenerationen ...

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