Wurzelunklarheit!

08.02.2006, 16:00

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

Wurzelunklarheit!

ein frage die ich noch immer habe und vor monaten mal gefragt habe,versteh ich noch immer nicht!!!!!!! ich will es endlich los werden!!

also!
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
hat die umkehrfunktion,was natürlich nur für einen bestimmten intervall gilt, da die umkehrfunktion
$\begin{eqnarray*} f^{-1}=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
keine negativen definitionsbereich annehmen kann, also gilt:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{D}=\mathbb{R}/(-\infty) \end{eqnarray*}$

der grund dafür ist, dass man aus negativen zahlen nicht die zweite wurzel ziehen kann, denn :
$\begin{eqnarray*} (5)^2=+25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-5)^2=+25 \end{eqnarray*}$
daher gilt:

$\begin{eqnarray*} \pm\sqrt{25}=5 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -5 \end{eqnarray*}$

in einer funktion müsste man schaune, ob die wurzel ein + oder - hat, da ansonsten die zuordnung der funktion mehrdeutig wäre

schaut:

aber jetzt kommt der haken:
wir haben
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$

hier is es jetzt anders, denn:
$\begin{eqnarray*} (5)^3=125 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-5)^3=-125 \end{eqnarray*}$

da bedeutet also, dass auch negative zahlen unter der dritten wurzel

definiert sind!! aber warum zeichnet der plotter nur den positven teil auf und nicht den negativen, denn es wäre doch dafür definiert, da die zuordnung der funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=^3\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ nicht mehrdeutig ist!

schaut:

normalerweise müsste es links weitergehen! zur verdeutlichung habe ich den grünen graph gezeichnet!also das rote und grüne müssten zusammen gehören.
bitte gebt mir endlich eine antwort, damit ich endlich diese frage los bin!!

P.S.= wie kann ich + und - gleichzeitig machen, das unendlichzeichen und den exponenten der wurzel aufschreiben mit dem formeleditor, damit ich das korrigieren kann

08.02.2006, 16:06

zeta

Auf diesen Beitrag antworten »

Da würde ich mich anhscließen: wieso plottet der hampelmann das nicht? habe das gleiche (um nicht zu sagen: das selbe problem, herr schulze oder schultze), watch it: ist diese funktion umkehrbar?begründ [mit bild]

edit latexxcommand: unendlich ist infty, plus/minus ist pm, minusplus mp, dritte wurzel aus x ist sqrt [3]{x}

08.02.2006, 16:11

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die codes!
jo ich war schon in dem thread drin und hab es gesehen

edit: ich bin mal richtig gespannt auf die antwort Big Laugh

Big Laugh

08.02.2006, 16:14

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
hat die umkehrfunktion,was natürlich nur für einen bestimmten intervall gilt, da die umkehrfunktion
$\begin{eqnarray*} f^{-1}=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
keine negativen definitionsbereich annehmen kann, also gilt:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{D}=\mathbb{R}/(-infinity) \end{eqnarray*}$

Du meinst $\begin{eqnarray*} \mathrm D=\mathbb R\setminus (-\infty,0) \end{eqnarray*}$ ?

Also, der Grund: Natürlich kann man die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^3=a \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eindeutig nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösen. Für den Plotter allerdings sind Wurzeln (egal ob 2., 3. oder sonst irgendwelche) nur für nichtnegative Zahlen definiert. Das ist aber nur eine Definitionssache. Der eine mag es vielleicht so mehr, der andere so. Wenn du willst, kannst du für dich selbst gerne $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a} \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ definieren, nur wirst du es in der Literatur oft anders finden. Das liegt hauptsächlich daran, dass man die Potenzschreibweise mit rationalem Exponenten mithilfe von Wurzeln definiert und sich diese Definitionen dann beißen würden, wenn man das auch für negative Zahlen zuließe. Wenn man dann nämlich die Potenzgesetze nicht verlieren möchte, würde man solche absurde Gleichungen wie $\begin{eqnarray*} -2=2 \end{eqnarray*}$ erhalten.
Ist also letztendlich nur eine Frage der Definition und an sich hat das auch erstmal nichts mit der Umkehrfunktion zu tun. Dass $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ umkehrbar ist, daran wird niemand zweifeln, aber ob man die Umkehrfunktion dann eben $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ nennt, ist jedem selbst überlassen.

Zitat:

Original von PG
P.S.= wie kann ich + und - gleichzeitig machen, das unendlichzeichen und den exponenten der wurzel aufschreiben mit dem formeleditor, damit ich das korrigieren kann

$\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ mit "\pm", $\begin{eqnarray*} \mp \end{eqnarray*}$ mit "\mp", $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ mit "\infty" und $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ mit "\sqrt[n]{x}". Das steht aber alles (!!) im Formelditor!

Gruß MSS

08.02.2006, 16:24

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

also bedeutet das:
wenn ich will, dann kann ich das machen, wenn nicht, dann kann ich das auch weglassen???
cool, wenn wir eine klausur schreiben dann kann ich das mitzeichnen und der lehrer kann mir nichts sagen oder wie ist das jetzt zu verstehen?

Zitat:

Das liegt hauptsächlich daran, dass man die Potenzschreibweise mit rationalem Exponenten mithilfe von Wurzeln definiert und sich diese Definitionen dann beißen würden, wenn man das auch für negative Zahlen zuließe. Wenn man dann nämlich die Potenzgesetze nicht verlieren möchte, würde man solche absurde Gleichungen wie
2=-2 erhalten

soweit würde es nie kommen, denn man sieht, dass es nicht gleich ist!
also wenn ich das so mache:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{8}=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{-8}=-2 \end{eqnarray*}$

ist ja auch logisch! und zu $\begin{eqnarray*} 2=-2 \end{eqnarray*}$ würde es nie kommen

08.02.2006, 16:39

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ganz so würde ich das jetzt nicht sagen. In der Klausur würde ich dann das machen, was ihr im Unterricht gemacht habt. Denn da zählt dann wirklich eher, was der Lehrer im Unterricht mit euch vereinbart hat!

Zitat:

Original von PG
soweit würde es nie kommen, denn man sieht, dass es nicht gleich ist!
also wenn ich das so mache:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{2}=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{-2}=-2 \end{eqnarray*}$

ist ja auch logisch! und zu $\begin{eqnarray*} 2=-2 \end{eqnarray*}$ würde es nie kommen

Zunächst ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{8}=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2}\neq 2 \end{eqnarray*}$ ! Und zu $\begin{eqnarray*} -2=2 \end{eqnarray*}$ : Das passiert eben doch, wenn man die Gültigkeit der Potenzgesetze voraussetzt:

$\begin{eqnarray*} -2=\sqrt[3]{-8}=(-8)^{\frac{1}{3}}=(-8)^{\frac{2}{6}}=\left((-8)^2\right)^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{64}=2 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

Anzeige

08.02.2006, 16:43

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

1)jo habe mich verschrieben, ich meinte natürlich acht unter der wurzel. habs editiert

2) du hast recht... wie bist du drauf gekommen... sehr schlau gedacht, wäre ich nie drafu gekommen...wenn man die potenzgesetze vernachlässigen würde, dann könnte man es doch so zeichnen oder??

ok jetzt habe ich den hauptteil verstanden!
danke

08.02.2006, 16:51

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ums Zeichnen geht es im Moment gar nicht. Natürlich muss die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ auch im Negativen gezeichnet werden. Es ist nur die Frage, ob man es auch $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ nennen will. Auf die Potenzgesetze solltest du nicht verzeichten. Wenn du dennoch $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ für negative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ definieren willst, dann ist das kein Problem. Die obige Gleichung zeigt ja nur, dass man die Potenzschreibweise mit rationalem Exponenten nur für nichtnegative Basen zulassen kann, wenn man die Potenzgesetze behalten will. D.h. dann, dass du einfach folgendes machen würdest: Du definierst dir $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ auch für negative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$

definierst du nur für nichtnegative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für den Rest gar nicht! Das wäre dann immer noch die übliche Definition.

Gruß MSS

08.02.2006, 16:57

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

manchmal denke ich,dass mathe sich widerspricht, wie du heute es mit deinem beispiel gezeigt hast.

naja vielen dank MSS!

02.03.2006, 17:18

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Zunächst ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{8}=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2}\neq 2 \end{eqnarray*}$ ! Und zu $\begin{eqnarray*} -2=2 \end{eqnarray*}$ : Das passiert eben doch, wenn man die Gültigkeit der Potenzgesetze voraussetzt:

$\begin{eqnarray*} -2=\sqrt[3]{-8}=(-8)^{\frac{1}{3}}=(-8)^{\frac{2}{6}}=\left((-8)^2\right)^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{64}=2 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

es ist lang her, als wir über das thema gesprochen haben, aber ich habe wieder die frage dazu, denn ich habe mir das überlegt.

du hast mir tatsächlich gezeigt, dass man zeigen kann, dass
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8}=2 \end{eqnarray*}$ und nicht -2 unter voraussetzung der potenzgesetze.
aber dann könnte ich doch auch
$\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{-4}=2 \end{eqnarray*}$
definieren und das auch unter der voraussetzung der potenzgesetze
$\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{-4}=(-4)^{\frac{1}{2}}= (-4)^{\frac{2}{4}}= \sqrt[4]{(-4)^2}= \sqrt[4]{16}=2 \end{eqnarray*}$
verstehst du was ich meine. wie erklärst du dir dann das?

PS: Für alle andere: die vorigen texte bitte nochmal durchlesen, damit ihr wisst, über was wir schon geredet haben und damit es net wiederholt wird.

02.03.2006, 17:36

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar ein sehr beliebtes Thema, siehe auch hier .

Der Board-Plotter scheint auch streng meiner Meinung zu sein, was die Wurzeldefinition betrifft. Nichts für ungut, Leopold, der Board-Plotter ist ja nun wahrlich keine Referenz. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@PG

Wenn schon, dann muss es so weitergehen:

02.03.2006, 18:41

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

ích finde es besser, wenn wir hier das problem lösen(obwohl es unlösbar aussieht), da wir hier auch beweise aufgeführt, warum man das so macht und warum das so ist, mit den wurzeln von
$\begin{eqnarray*} n=a+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=a+1 \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ wenn n exponent ist.
bei ungeraden exponenten kann man wurzel ziehen von negativen zahlen und bei nicht negativen kann man sowohl bei ungeraden als auch bei geraden exponenten. aber man kann durch anwendung der potenzgesetze auch von negativen radikanden unter der wurzel "wurzel ziehen". dafür muss es eine mathematische erklärung geben oder ich habe einen beweis für die widerlegung einer mathematischen Regel(dank MSS, der aber nur einen ansatz gab und ich es auf die wurzel mit gerade exponenten mit negativen radikanden bezogen hab Big Laugh

Big Laugh

).

02.03.2006, 18:45

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
@PG

Wenn schon, dann muss es so weitergehen:

ja genau so mein ich das. da hat nur das minus gefehlt. ich habe es ja auch so beschrieben.
ich editiers.

02.03.2006, 19:31

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PG
du hast mir tatsächlich gezeigt, dass man zeigen kann, dass
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8}=2 \end{eqnarray*}$ und nicht -2 unter voraussetzung der potenzgesetze.

Nein, das habe ich nicht! Die Definition der dritten Wurzel sagt zunächst ganz klar $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8}=-2 \end{eqnarray*}$ . Würden die Potenzgesetze nun gelten, dann gäbe es einen Widerspruch. Das ist nur eine Rechtfertigung dafür, die Potenzgesetze dann nicht mehr anwenden zu können.

Zitat:

Original von PG
aber dann könnte ich doch auch
$\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{-4}=2 \end{eqnarray*}$
definieren und das auch unter der voraussetzung der potenzgesetze
$\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{-4}=(-4)^{\frac{1}{2}}= (-4)^{\frac{2}{4}}= \sqrt[4]{(-4)^2}= \sqrt[4]{16}=2 \end{eqnarray*}$
verstehst du was ich meine. wie erklärst du dir dann das?

Was soll ich da erklären? Deine sogenannte "Definition" hat nichts mit der "normalen" Wurzel zu tun. Du definierst dir was ganz anderes. Wie schon oben gesagt: Nach Definition galt $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8}=-2 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} a=\sqrt[n]{b} \end{eqnarray*}$ ist für ungerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ definiert als die eindeutige Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} a^n=b \end{eqnarray*}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig.
Für gerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a=\sqrt[n]{b} \end{eqnarray*}$ nunmal definiert als die eindeutige nichtnegative Lösung für die Gleichung $\begin{eqnarray*} a^n=b \end{eqnarray*}$ . Das Problem ist nur, dass für $\begin{eqnarray*} b<0 \end{eqnarray*}$ keine Lösung für diese Gleichung existiert. Deshalb passt deine Ausgangsgleichung mit dieser Definition nicht zusammen.
$\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{-4}=2 \end{eqnarray*}$ würde nämlich heißen, dass $\begin{eqnarray*} 2^2=-4 \end{eqnarray*}$ sein müsste. Nur gibt es keine Zahl $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^2=-4 \end{eqnarray*}$ . Deshalb ist das, was du machen wolltest, was anderes als meine Vorgehensweise.

Gruß MSS

02.03.2006, 20:14

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Nichts für ungut, Leopold, der Board-Plotter ist ja nun wahrlich keine Referenz. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann habe ich heute Premiere. Mein erstes Schaubild mit dem Board-Plotter (nach bald 2 Jahren Mitgliedschaft!):

Mensch, der kann ja sogar stetig ergänzen!

EDIT

Und alle, die so gerne dritte Wurzeln aus negativen Zahlen verbieten wollen und dafür

$\begin{eqnarray*} -2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = 64^{\frac{1}{6}} = 2 \end{eqnarray*}$

anführen, frage ich, ob sie auch die dritte Potenz für negative Basen verbieten wollen:

$\begin{eqnarray*} -8 = (-2)^3 = (-2)^{\frac{6}{2}} = \left( (-2)^6 \right)^{\frac{1}{2}} = 64^{\frac{1}{2}} = 8 \end{eqnarray*}$

Ich betone noch einmal: Das ist kein Problem der dritten Wurzel, sondern der Potenzrechnung mit gebrochenen Exponenten - und zwar sind die geraden Zahlen schuld! Die bösen!

02.03.2006, 20:23

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

An anderen Stellen ist Gnuplot aber bemerkenswert um möglichst großen Definitionsbereich bemüht, ich erinnere an diesen Fall . Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.03.2006, 20:59

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Was soll ich da erklären? Deine sogenannte "Definition" hat nichts mit der "normalen" Wurzel zu tun. Du definierst dir was ganz anderes. Wie schon oben gesagt: Nach Definition galt $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8}=-2 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} a=\sqrt[n]{b} \end{eqnarray*}$ ist für ungerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ definiert als die eindeutige Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} a^n=b \end{eqnarray*}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig.
Für gerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a=\sqrt[n]{b} \end{eqnarray*}$ nunmal definiert als die eindeutige nichtnegative Lösung für die Gleichung $\begin{eqnarray*} a^n=b \end{eqnarray*}$ . Das Problem ist nur, dass für $\begin{eqnarray*} b<0 \end{eqnarray*}$ keine Lösung für diese Gleichung existiert. Deshalb passt deine Ausgangsgleichung mit dieser Definition nicht zusammen.
$\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{-4}=2 \end{eqnarray*}$ würde nämlich heißen, dass $\begin{eqnarray*} 2^2=-4 \end{eqnarray*}$ sein müsste. Nur gibt es keine Zahl $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^2=-4 \end{eqnarray*}$ . Deshalb ist das, was du machen wolltest, was anderes als meine Vorgehensweise.

Gruß MSS

achso du meinst wegen dem definitionsbereich... das klingt logisch, also du meinst doch so:
für ungerade exponente gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
daher darf ich dann die potenzgesetze auch für negative bereiche verwenden, da es für alle Radikanden definiert ist.
bei geraden exponenten hingegen gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}=\mathbb{R}/{b<0} \end{eqnarray*}$ und daher darf ich nicht die potenzgesetze bei geraden exponenten anwenden, da der ausdruck dann nicht stimmen würde, weil es halt net definiert ist(wie wir vorhin mit den Potenzen gezeigt haben)
ok damit wäre die frage beantwortet. ich überlege aber weiter und werde vielleicht zurückkehren Zunge

Zunge

also bis dann(und habe gedacht, dass das wenigstens der erste indirekte fehler von MSS wäre Big Laugh

Big Laugh

)

02.03.2006, 21:16

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Arthur

Dein Beitrag bringt mich auf einen subversiven Gedanken! Ich glaube, der Plotter würde die dritte Wurzel ganz gern im negativen Bereich zeichnen, kann es aber nicht, weil ihm der Hauptwert zu imaginär ist. Das ist ihm sozusagen unheimlich. Also holen wir ihn ins Reelle zurück:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left| \sqrt[3]{x} + 1 \right| \end{eqnarray*}$

Und auf einmal stört ihn der negative Radikand nicht mehr. Er stellt sich tatsächlich auf deine Seite und zieht den Hauptwert der reell negativen Wurzel vor. Für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ zeichnet er offenbar das Schaubild von

$\begin{eqnarray*} x \mapsto \frac{1}{2} \, \sqrt{3 + \left( 1 + 2 \, \sqrt[3]{-x} \right)^2} \end{eqnarray*}$

Zum Beispiel: $\begin{eqnarray*} -1 \mapsto \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} -1 \mapsto 0 \end{eqnarray*}$ , wie ich es gerne hätte.

Oder noch einfacher:

$\begin{eqnarray*} g(x) = \left| \sqrt[3]{x} \right| \end{eqnarray*}$

In beiden Fällen auffällig, wie grob er in einer Umgebung mit unendlicher Steigung zeichnet.

03.03.2006, 22:23

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PG
und habe gedacht, dass das wenigstens der erste indirekte fehler von MSS wäre Big Laugh

Big Laugh

Hehe, als ob ich noch keine Fehler gemacht hätte. Solche Formulierungen solltest du eher bei Arthur und Leopold anwenden. Big Laugh

Big Laugh

@Leopold
Ich hoffe, dein Edit war nicht schon wieder auf mich bezogen!?

Gruß MSS

04.03.2006, 10:36

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@Leopold
Ich hoffe, dein Edit war nicht schon wieder auf mich bezogen!?

Nein, natürlich nicht! Sondern auf den bösen Onkel in einem anderen Strang. Big Laugh

Big Laugh

15.03.2006, 14:28

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

hi
ich bin es nochmal. ich habe es heute mal mit meinem lehrer besprochen. er sagte mir folgendes:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-1^1}\neq\sqrt[6]{(-1)^2} \end{eqnarray*}$

das geht nicht, da es quadrariert wird und quadrieren ist keine äquivalenzumformung. daher wird das ergebnis positiv, obwohl es negativ sein müsste. leider habe ich vergessen zu fragen, warum man den anderen teil dann nicht zeichnet von dritte wurzel aus x.
also man darf einfach nicht den bruch erweitern. warum zeichnet man dann nicht den negativen teil von der funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$

??

15.03.2006, 15:20

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PG
warum zeichnet man dann nicht den negativen teil von der funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$

??

Wer ist "man"? Wenn ich diese Funktion auf ihrem größtmöglichen Definitionsbereich zeichnen sollte, dann würde ich sie (mittlerweile) auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ zeichnen.

Gruß MSS

15.03.2006, 15:27

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

@PG

Hmm, hast du denn alles vergessen, was hier im Thread besprochen wurde? Es gibt unterschiedliche Auffassungen über den Definitionsbereich der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$

(a) ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als vollständige Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} g(x)=x^3 \end{eqnarray*}$

(b) nur $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ = [0,\infty) \end{eqnarray*}$ .

Und GnuPlot vertritt eben Variante (b). Das mag auch daran liegen, dass diese Wurzel vermutlich intern durch

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{\frac{\ln(x)}{3}} \end{eqnarray*}$

berechnet wird, und da machen negative Argumente offensichtlich Ärger...

15.03.2006, 15:45

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

also ist variante a) eigentlich das richtig( hast du ja auch mit umkehfunktion eben bewiesen)?

15.03.2006, 16:02

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nicht um richtig oder falsch: (a) ist umfassender, d.h., mit maximalen Definitionsbereich innerhalb der reellen Zahlen. Allerdings darf man in diesem erweiterten Definitionsbereich nicht mehr gedankenlos mit den Potenzgesetzen umgehen!

15.03.2006, 17:51

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, aber wie kommen mathematiker verdammt nochmal auf die definition :alle reele zahlen außer 0 und neg. zah.

das will ich doch nur wissen.

15.03.2006, 18:11

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Einer einheitlichen Darstellung von $\begin{eqnarray*} f_{\alpha}(x):=x^{\alpha} \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ wegen! Wenn man sich auf $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ beschränkt, kann man eben Sachen machen, die sonst nicht klappen, z.B. die für $\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ schon von mir erwähnte andere Darstellung

$\begin{eqnarray*} f(x) = \exp\left( \alpha \cdot \ln(x) \right) \end{eqnarray*}$

Es gibt eben sowohl für (a) als auch für (b) Gründe. Aber das stand doch alles schon zigmal hier, denk doch auch mal selber drüber nach!

15.03.2006, 20:26

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

kommt sowas vielleicht als schulthema und woher weisst du das alles verdammt nochmal Zunge

Zunge

?
bist du lehrer?

15.03.2006, 21:20

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh nein, ich kenne meine Grenzen. Eine davon ist mangelnde Geduld, eine andere ein gewisser Widerwille gegen Wiederholungen (merkt man, nicht wahr?). Beides keine gute Voraussetzungen für den Lehrerberuf.

15.03.2006, 21:23

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

auf jedenfall wäre das dann ENDLICH geklärt.
danke

1

Verwandte Themen