Ableitung gebrochen-rationale Funktion |
| 08.02.2006, 19:32 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Ableitung gebrochen-rationale Funktion Ich schreibe sehr bald Abitur im Mathe Grundkurs (Hamburg). Jedenfalls gibt es folgende Aufgabe: (x^3 + x^2) / (2x^2 - 2) . Ich hoffe, man kann das richtig interpretieren, denn ich habe keine Ahnung, wie das sonst funktioniert. Es handelt sich halt um eine gebrochen-rationale Funktion, bei der im Zähler (x^3 + x^2) und im Nenner (2x^2 - 2) steht. Nun ja, diese Funktion soll abgeleitet werden. Die Lösungen sind bekannt, nur leider komm ich nicht weiter. Quotientenregel ist mir bekannt, hilft mir trotzdem nicht. 
Die Lösungen: f'(x) = (x*(x-2)) / (2*(x-1)^2) f''(x) = 1 / ((x-1)^3) Wär nett, wenn ihr helfen könntet. Frank |
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| 08.02.2006, 19:37 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
und warum nicht? hast einfach mal eingesetzt? wie lautet die regel? was ist dabei bei dir u, was ist v? wie sieht dann u', v' aus? und warum setzt du dann nicht einfach ein? fragen beantworten! |
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| 08.02.2006, 19:40 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich mache das wahrscheinlich falsch, rechne nun seit ca. 3h an dieser Aufgabe ran. Wenn es so einfach wäre mit dem Tip "einsetzen", würde ich bestimmt nicht hier reinschreiben. Ich bekomm einen ellenlangen Term, der mich völlig verwirrt. Deshalb bitte ich um erklärung, wie ich am besten wo was einsetze, damit ich mal ein Beispiel habe, wie so etwas geht. Danke FRANK |
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| 08.02.2006, 19:41 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, Vlt. wird´s übersichtlicher wenn du´ in zwei Summanden aufteilst: (x^3/...)+ (x^2/...) Manche finden´s auch angenehmer statt Quotientenregel, die Produktregel anzuwenden, also x^3 mal (1 /...) . Übrigens, mit dem Formeleditor (alles per Knopfdruck) wird´s auf jedenfall übersichtlicher: . Schreib mal deine ersten Schritte, dann sehen wir wo es hängt. mfg, phi |
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| 08.02.2006, 19:41 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
beantworte bitte meine fragen so gut es geht 
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| 08.02.2006, 19:44 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei mir fängt es direkt an zu hapern: Also, wenn ich die Quotientenregel anwende, wie mache ich das, wenn ich oben 2 Summanden habe? Ich habe einfach den gesamten Zähler als "u" genommen und den gesamten Nenner als "v". Ist das richtig? Dann habe ich laut Quotientenregel (u'*v - u*v') / v² So, dann bekomme ich einen Term mit 4 Summanden. Und dann ist Feierabend. |
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| 08.02.2006, 19:48 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Anmerkung von meiner Seite: Es ist sicherlich nett, dass ihr Profis mir hier helfen wollt, indem ihr meine Fehler ausmerzt. Da ich aber leider sowas von daneben liege und nicht die GERINGSTE Ahnung habe, wie man gebrochen-rationale Funktionen ableitet und die Quotientenregel im Unterricht SPÄRLICHST behandelt wurde, bräuchte ich einfach mal EIN Beispiel, an dem ich mich orientieren kann. Wenn sich jemand die Arbeit machen würde, würde er mir so am besten helfen. |
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| 08.02.2006, 19:50 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
völlig richtig, ich weiß nicht, warum wir ein beispiel machen sollen, wenns da doch schon eins gibt jetzt kombinieren wir das schritt für schritt zusammen u(x)=? v(x)=? u'(x)=? v'(x)=? das solltest du noch hinbekommen |
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| 08.02.2006, 19:51 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Formel stimmt. Klar kannst du den ganzen Zähler nehmen. Mit zwei Summanden hätten zwei "einfachere" Beispiele die wir eins nach dem anderen durchrechnen könnten. Schreib doch die "vier Summanden" hier rein, vlt. stimmt es sogar. Wir können leider nicht Hellsehen... 
Edit: Bin zu langsam, springe wieder ein falls LOED grad keine Zeit hat. mfg, phi. |
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| 08.02.2006, 19:56 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So, wenn nicht anders geht.... 1. u = x^3 + x^2 2. v = 2x^2 - 2 3. u' = 3x^2 + 2x 4. v' = 4x Richtig oder scheitere ich schon hier? |
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| 08.02.2006, 19:58 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich das einsetze, bekomme ich Folgendes: ((3x^2 + 2x)*(2x^2-2)) - ((x^3+2)*4x) / (2x^2 -2)^2 RICHTIG? ODER VÖLLIG DANEBEN? |
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| 08.02.2006, 20:00 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
da fehlt was, sonst völlig richtig, ich vermute tippfehler? lesbarer wirds, wenn du latex verwendest |
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| 08.02.2006, 20:02 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Latex versteh ich nicht, treib mich sonst nie in Mathe-Foren rum....sorry... Ja, war ein Tipfehler. Und wie gehts jetzt weiter? Jetzt bin ich am Ende. Da ist Schluss.... Also, wenn ihr jetzt einfach mal nen Weg aufzeigen könntet? FRANK |
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| 08.02.2006, 20:06 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So, hier jetzt mal mit Latex...geht ja doch 
Naja, jedenfalls kann man natürlich ausmultiplizieren, oder durch "Zerstückelung" der Summanden auf je einen Bruchstrich kann man sogar einmal dieses (2x^2-2) kürzen, aber das bringt mir alles nichts |
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| 08.02.2006, 20:07 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
so mit tex.... jetzt ist deine rechenleistugn gefragt, vereinfache den zähler du kannst jeweils die produkte aus zwei polynomen ausmultiplizieren (erinnere dich, jedes mal jedes!) und danach gleiche potenzen zusammenfassen edit: warum soll das nichts bringen!? genau das bringts! |
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| 08.02.2006, 20:08 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So, bin jetzt grad mal für 2 Stunden weg, aber eine Hilfe bezüglich des Themas wäre sehr sehr wichtig für mich --> allein schon die psychologische Entlastung, das Ding noch heute fertigzustellen, wäre IMMENS!!! ;-) |
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| 08.02.2006, 20:10 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut, dann bekomme ich Ich hoffe, ich hab das richtige Ergebnis von meinem Schmierenzettel genommen...und nun? Wie gesagt, bin grad weg --> Deutsch-Treffen auch wegen Abi. ICH BIN IM STRESS |
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| 08.02.2006, 20:20 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nenner lässt du normalerweise stehen, weil du da eh eigentlich außer kürzen mit dem zähler, fast nie was ändern kannst dein ergebnis bekomme ich auch was du z.b. noch tun kannst: also 2 noch gekürzt keine ahnung, wo deine ableitung von ganz oben herkommt, aber dieses ergebnis kann ich bestätigen.... |
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| 08.02.2006, 22:16 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmmm.... danke erstmal für die ausführliche Info. Eine Frage bleibt: wieso bekommst du im Nenner immer ? Muss das nicht quadriert werden laut Quotientenregel? Leider verhält es sich so: Die Aufgabe stammt aus dem Aufgaben_Buch der Behörde hier in Hamburg, wo eben auch die Lösung angegeben wird. AUch wenn ich die Funktion bei z.B. Derive eingebe und sie "differenzieren" lasse, dann kommt folgendes Ergebnis (hier nochmal in latex form): Keine Ahnung, wie die draufkommen, ich bin schon lange mit meinem Latein am Ende. |
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| 08.02.2006, 22:23 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Moment, ich habe soeben noch etwas entdeckt, was das ganze einfacher machen könnte, wenngleich die Behörde bei der Berechnung von dem Ursprungsterm ausgegangen ist: Die urspürngliche Funktion kann man wohl noch vereinfachen, weil sich in Nenner und Zähler jeweils (x+1) kürzen lässt. Dann kommt raus: . Vielleicht gehts damit leichter? |
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| 08.02.2006, 22:33 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
auf jeden fall gehts damit einfacher ich such grad noch, ob ich/wir einen fehler gemacht haben, aber deine zweite form ist zum ableiten natürlich viel einfacher bedenke, wenn du durch x+1 kürzt, die bedingung x<>-1 anzugeben! edit: nachgerechnet! passt wir müssen nur unser ergebnis noch entsprechend vereinfachen! das ist auf jeden fall richtig! wenn du von anfang an vereinfachst, hast du es leichter! |
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| 08.02.2006, 22:50 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
2 Sachen: 1. Was hat es mit der Bedingung auf sich? Das versteh ich nicht. 2. Ich hab versucht, das ganze abzuleiten, leider komm ich nicht ganz auf das "richtige" Ergebnis. Anstatt unten im Nenner vorne noch den Faktor "2" zu haben, steht bei mir das Quadrat alleine, also so: Hab also zuerst als mein "u", dann als mein "v". Ergibt: u'(x) = v'(x) = RICHTIG? Eingesetzt in die Formel hat man dann: . Ausmultiplizieren und zusammenfassen ergibt bei mir: Dann ausklammern etc. ergibt dann: (SCHRITT III) Die 2 kann man kürzen, sodass am Ende folgendes bei mir rauskommt: Wo ist der Fehler? Unten im Nenner müsste noch ne 2 stehen, nur leider weiß ich nicht wieso.... Oder muss bei SCHRITT III unten im Nenner ausgeklammert werden? |
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| 08.02.2006, 22:52 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
WIE VEREINFACHT MAN DENN? DA LIEGT MEIN GROSSES MANKO!!! Wär wirklich sehr nett und beruhigend, wenn du mir das noch erläutern könntest. |
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| 08.02.2006, 22:56 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nur zur information, gesehen hätte ich das normal auch nicht mehr vorher möglichst weit vereinfachen kann deswegen oftmals ein segen sein.... noch ein tipp zum vorher vereinfachen ist übrigens auch POLYNOMDIVISION vorher so weit wie möglich durchführen wir hatten: der nenner sieht so faktorisert aus: soweit klar? einen faktor 2 kann man gleich kürzen und jetzt sieht man eben, dass -1 auch im zähler noch eine nullstelle ist und kann das einmal über POLYNOMDIVISION abspalten und kürzen danach sieht man, dass -1 IMMER NOCH nullstelle im zähler ist, erneut PD und kürzen..... dann verbleibt im zähler gerade die x^2-2x.... |
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| 08.02.2006, 22:59 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
WOW, mehr fällt mir da nicht ein. Aber sowas kann man von mir nicht erwarten in der Abi-Klausur. Ich bin (obwohl mans kaum glaubt) ein 15-Punkte-Schüler in Mathe, aber diese Behörden-Aufgaben gehen mir echt zu weit. DANKE NOCHMAL |
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| 08.02.2006, 23:07 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ich fasse noch mal zusammen: unsere ableitung war völlig richtig, aber man muss das vereinfachen halt nachher sehen; sie war umständlich
wenn dus vorher siehst um so besser; ansonsten mache bei solchen ungetümen vorher polynomdivision, das vereinfachte auch die ganze sache oft hier z.b. findest du damit: und selbst wenn man hinten nicht kürzen würde, wäre es viel einfacher abzuleiten auf jeden fall viel glück im abitur
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| 08.02.2006, 23:07 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
EINE FRAGE GANZ AB VOM THEMA HÄTT ICH DOCH NOCH: Immer wieder les ich hier "notwendige" und "hinreichende" Bedingung im Zusammenhang mit Extrem- und Wendepunkten. Die notwendige Bedingungen sind glaub ich klar: f'(x) = 0 f'' (x) = 0 Aber die hinreichenden? Sind das die, dass bei der Überprüfung einer Extremstelle auf die Qualität (max/min), dass dann die f'' nicht gleich 0 sein darf, bzw. bei einem Wert <0 max und bei einem Wert >0 min? Sorry für die "schlampige" Ausdrucksweise. Und dass der Wendepunkt, eingesetzt in die f''', nicht gleich 0 sein darf? |
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| 08.02.2006, 23:10 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
so ungefähr "ntwendig" heißt, das muss sein; kein extrempunkt, wenn nicht f'=0 aber das genügt ja nicht, um sicher sein zu können, dass es ein extrempunkt ist hinreichend wirds dann erst, wenn du die weiteren ableitungen betrachtest.... übrigens gilt: f'(x)=0 betrachte die WEITEREN abbildungen f'', f''', f'''' usf. bis das erste mal f^(a)(x) nicht mehr 0 ist ist a gerade (wie z.b. bei f''), dann hast du ein extermpunkt, ist a ungerade einen sattelpunkt f'(x)=0 und f''(x)=0 ist also auch noch nicht hinreichend für einen sattelpunkt
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| 09.02.2006, 10:55 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Irgendwie werd ich immer verwirrter.... folgendes: Jedenfalls haben wir in der Schule das Integral berechnet und sind dabei richtigerweise auf 83,3 gekommen. Nur: Welche Fläche ist das? Sind das die beiden Teilstücke zwischen x-Achse und Graph oder ist das die Fläche "in der Öffnung" des Graphes, die oben bei der 25 begrenzt wird? Sorry für die peinliche Frage, aber ich setz mich selber so unter Druck, dass irgendwie gar nichts mehr geht. Meine Meinung: Man berechnet doch mit dem Integral immer die Fläche UNTER dem Graphen, richtig? Also müssten das die beiden Stücke zwischen x-Achse und Graph sein.... Bitte beruhigt mein Gewissen. |
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| 09.02.2006, 10:57 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
PS: Ich meinte natürlich das Integral zwischen -5 und 5, also quasi so wie es abgebildet ist |
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| 09.02.2006, 11:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Integral ist die orientierte Fläche zwischen x-Achse und Funktionsgraph. Denke an die Herleitung des Integrals mit Ober- und Untersummen. "orientierte Fläche" sagt, daß die Flächenstücke unterhalb der x-Achse (falls vorhanden) negativ gerechnet werden. PS: Für einen Mathe-15-Punkte-Schüler sind das Fragen, die mich arg verwundern. |
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| 11.02.2006, 16:29 | pappeler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke! 10 Minuten nach meiner Frage hab ich mich selbst ausgelacht. Ich hatte mich einfach derart verrückt gemacht, dass ich Sachen nicht "verstehe", die ein Witz sind --> Abi halt. Und wegen der gebrochen rationalen: Diesen Schritt, der ursprünglich als final angesehen wurde, hatte ich von Anfang an, hatte mich nur nicht getraut. ihn zu posten. Naja, hoffe, das klappt alles. |
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| 12.02.2006, 13:15 | bounce | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
joam hh hab mir das hier durchgelesen und bin auch ein wenig verwundert also für einen 15 PKT schüler ist das merkwürdig denn es ist ne ganz normale Aufgabe also nicht mal eine Schar und das ableiten sollte keine Probleme darstellen 
aber okay viel glück im Abi und weil du meintest das kann man dich doch net im Abi fragen da sag ich mal doch können sie ! rechne lieber mit Scharen weil das ist im Abitur immer dran auch im Grundkurs jedenfalls hier in Berlin-Brandenburgmfg bounce |
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