Rand, Innere und Abschluss einer Menge

08.02.2006, 20:10	Großes Fragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Rand, Innere und Abschluss einer Menge Hallo!! Ich schreibe bald Klausur und habe immer noch Probleme damit für eine angegebene Menge den Rand, das Innere, den Abschluss und die Menge der Häufunspunke anzugeben. Bin in dem Thema nicht ganz mitgekommen. Vielleicht könnte mir da ja jemand helfen, und zwar an der Menge $\begin{eqnarray} M:=\{P_1,P_2,....,P_n\} \end{eqnarray}$ Bei dem Inneren vermute ich, dass es die leere Menge ist, da man einen Kreis um den Punkt legen kann und dieser Kreis Elemente enthält, die nicht zur Menge gehören. Aber bei der Menge der Häufungspunke hab ich zum Beispiel nicht wirklich nen Plan. Hab mir die Defintion angeschaut, aber bin irgendwie ganz durcheinander gekommen damit. Wär echt nett wenn mir da jemand helfen könnte, bin sonst am verzweifeln...
08.02.2006, 20:17	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sind P_i ? einzelne Punkte ? Dann stimmt´s, dass das Innere ={} ist. Was wäre dann der Rand und der Abschluss von M ? Stell dir zu HP´s die Punkte der Menge $\begin{eqnarray} H:= \{n\in \mathbb N\|\frac{1}{n} \} \end{eqnarray}$ vor , wo häufen die sich?
08.02.2006, 20:29	Großes Fragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
P_i sind die Punkte. Kann es dann sein, dass der Rand von M die Menge M selbst ist? Abschluss hab ich absolut keine Ahnung, das ist das schwierigste. Bei der zweiten Menge häufen sich die Punkte bei 0 natürlich. Aber es gibt Mengen, z.B hatten wir mal diese hier $\begin{eqnarray} M_2:=(1,3)\times 2 \end{eqnarray}$ da war die Menge der Häufungspunke = Abschluss von M_2. Und ich weiss nicht wie man darauf kommt....
08.02.2006, 20:41	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: Ja, wenn M aus isolierten Punkten besteht (sind P_i´s nicht weiter beschrieben?) dann ist die Menge selbst der Rand. Wie habt ihr denn den Abschluß definiert?
08.02.2006, 20:56	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschluss = Menge selbst vereinigt mit dem Rand [denke dir diese definition von abschluss mal an einem Intervall (0,1) durch.... Rand sind die punkte 0,1 also ist der abschluss [0,1], was ja auch irgendwie sinn macht) bei abgeschlossenen Mengen ist die menge der abschluss selbst.... (denn rand ist eine teilmenge der menge)
09.02.2006, 02:31	Ace Piet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rand, Innere und Abschluss einer Menge Jo. - So ein $\begin{eqnarray} P_i \in M \subset \mathbb X \end{eqnarray}$ hat nicht die Spur der Bohne mit der Topologie auf so einem $\begin{eqnarray} \mathbb X \end{eqnarray}$ zu tun (die besagt, was + wozu es gehört und wie fein ein Gesamtraum X betrachtet wird) - deftiger Scherz-... In der diskreten Top. (bsp.weise) sind die $\begin{eqnarray} P_i \end{eqnarray}$ sämtlich offen und gleichzeitig abgeschlossen. Nur zur Erinnerung war die erzeugende Metrik d: d(x,y) = 1 für $\begin{eqnarray} x \neq y \end{eqnarray}$ (..0 sonst). - Man untersuche die "offene Kugel" $\begin{eqnarray} d(x,y)< \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . In einem(?) anderen Fall sind $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb X \end{eqnarray}$ die einzigen gleichzeitig offene + abg. Teilmengen, will sagen, Elemente der Topologie. HIER ist M aussen vor. - WAS DAS? Tja. - Und da sehe ich scharz für die Klausur... sorry Eingangsfrage: Was erreicht man mit dieser drecks scheissen Topologie? [95 / 100 P.] - Vorbei nach 5 Min. + nicht so schnell nachzulesen. piff poff** -Ace-
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09.02.2006, 13:01	Großes Fragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zunächst einmal ist es dann wohl so, dass der Abschluss von M wieder M ist. Und die Menge der Häufungspunke ist dann eine leere Menge. @ Ace Piet In der Aufgabenstellung stand nur: "bretrachtet wird die Teilmenge M von R". Es wurde einfach nur gefragt: Geben sie den Rand, das Innere usw. an.... Und die Menge der Punkte war bei uns immer abgeschlossen. Das die Menge der Punkte in der diskreten Topologie offen und abgeschlossen hatten wir zumindest nicht gehabt....

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