Funktionsfragen

08.02.2006, 21:14

Newbie-58

Funktionsfragen

Hallo Leute... Hilfe

Ich habe trotz benutzen der Suche keine Lösungen auf meine Fragen gefunden. Da ich nicht ewig viel Zeit habe, da am Fr ne Klausur ansteht, stelle ich kurz ein paar Fragen und hoffe auf Hilfe.
Der Workshop hat mir auch nur teilweise geholfen.

Eigentlich bin ich bis jetzt in Mathe ganz gut. Alle Arbeiten Note 1-2, aber momentan fehlen mir ein paar Synapsen für die Analysis.

Also:

Woher weiß ich, wie viele Ableitungen ich brauche?

Wann substituieren, wann ausklammern?

Gerade Exponenten heißt doch ich habe Symmetrie zur Y-Achse? Oder?
Wenn ich nun noch eine absolutes Glied habe verschiebt sich das Ganze halt nach oben oder unten.

Dann sollte ja bei ungeraden Exponenten Symmetrie zum Ursprung, also X-Achse sein? Oder? Oder heißt Ursprung (0/0)???

Dann habe ich Probleme bei den Aufstellen der Bedingungen:

Nullstellen errechnen. Klar F(x) = O ---> Macht Sinn!

Extrema: Wie schaut ne Bedingung da aus? Konnte das aus dem Workshop nicht ersehen.

Wendepunkte: ebenfalls Bedingungsproblem

Was noch dazu kommt... ich ralle das irgendwie nicht mit den Minimum und Maximum.

Wäre euch echt dankbar, wenn ihr es plausibel erklären könntet.

Vielen Dank vorab

Gruß
Newbie-58

08.02.2006, 21:19

JochenX

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RE: Funktionsfragen

Zitat:

Original von Newbie-58
Woher weiß ich, wie viele Ableitungen ich brauche?

woher sollen wir das denn wissen!?
du weißt, dass du für wendepunkte mindestens zweite ableitung brauchst, für extrempunkte mindestens erste ableitung usf.
wenn da aber steht "berechnen sie die ersten 22098 ableitungen", dann brauchst du eben di ersten 22098 stück

Zitat:

Wann substituieren, wann ausklammern?

das sind zwei paar schuhe, die gar nicht zusammenpassen
geht die frage genauer?

Zitat:

Gerade Exponenten heißt doch ich habe Symmetrie zur Y-Achse? Oder?
Wenn ich nun noch eine absolutes Glied habe verschiebt sich das Ganze halt nach oben oder unten.

bei polynomfunktionen: ja!

Zitat:

Dann sollte ja bei ungeraden Exponenten Symmetrie zum Ursprung, also X-Achse sein? Oder? Oder heißt Ursprung (0/0)???

ja, urpsrung ist der punkt (0/0) symmetrie zur x-achse macht nicht sooo viel sinn (und es gibt auch nicht soooo viele solchsymmetrischen funktionen)

Zitat:

Dann habe ich Probleme bei den Aufstellen der Bedingungen:

Nullstellen errechnen. Klar F(x) = O ---> Macht Sinn!

Extrema: Wie schaut ne Bedingung da aus? Konnte das aus dem Workshop nicht ersehen.

Wendepunkte: ebenfalls Bedingungsproblem

extrema, NOTWENDIGE bedingung f'=0
wendestelle, NOTWENDIGE bedingung f''=0

Zitat:

Was noch dazu kommt... ich ralle das irgendwie nicht mit den Minimum und Maximum.

was "rallst" du da nicht!?

08.02.2006, 21:27

MrPSI

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viele Fragen sind das (und auch viele Antworten wird es geben).

Zitat:

Woher weiß ich, wie viele Ableitungen ich brauche?

Wenn in der Aufgabenstellung von Extrema die Rede ist, braucht man nur die ersten zwei Ableitungen, bei Wendepunkten auch die 3. Ich würde einfach generell 3 Ableitungen machen.

Zitat:

Wann substituieren, wann ausklammern?

Substituiere, wenn die Exponentenzahl ziemlich gross ist (>3), klammere aus, wenns möglich ist, also wenn in jedem Glied mindestens ein x ist.

Zitat:

Oder heißt Ursprung (0/0)???

Ursprung heisst (0|0).

Zitat:

Dann habe ich Probleme bei den Aufstellen der Bedingungen:

Nutze bei den Bedingungen alles was du kannst. Wenn z.B. da steht, dass der Wendepunkt (2|3) ist, dann kannst du die Funktionsgleichung verwenden und $\begin{eqnarray*} f''(x_{w})=0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Extrema: Wie schaut ne Bedingung da aus? Konnte das aus dem Workshop nicht ersehen.

Wendepunkte: ebenfalls Bedingungsproblem

Bei Extrema sieht die Bedingung in den meisten Fällen so aus:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \wedge f''(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$
Wendepunkte: $\begin{eqnarray*} f''(x)=0 \wedge f'''(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Kannst du deine Frage bezüglich der Minima und Maxima konkreter darstellen?

08.02.2006, 21:27

Newbie-58

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...
Also sind : extrema, NOTWENDIGE bedingung f'=0; wendestelle, NOTWENDIGE bedingung f''=0 --->Standartbedingungen!?

Minimum und Maximum

Wenn es darum geht ein Min oder Max zu finden. Ich weiß halt nicht, was für was steht.

08.02.2006, 21:30

Mathespezialschüler

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Hallo!
Da sind ja erstmal einige Fragen völlig aus dem Zusammenhang gerissen!

Zitat:

Original von Newbie-58
Woher weiß ich, wie viele Ableitungen ich brauche?

Wann substituieren, wann ausklammern?

Wie viele Ableitungen wofür? In welchem Zusammenhang ist die zweite Frage gestellt?

Zitat:

Original von Newbie-58
Gerade Exponenten heißt doch ich habe Symmetrie zur Y-Achse? Oder?
Wenn ich nun noch eine absolutes Glied habe verschiebt sich das Ganze halt nach oben oder unten.

Dann sollte ja bei ungeraden Exponenten Symmetrie zum Ursprung, also X-Achse sein? Oder? Oder heißt Ursprung (0/0)???

Natürlich ist der Ursprung der Punkt $\begin{eqnarray*} (0|0) \end{eqnarray*}$ und nicht die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse!

Zitat:

Original von Newbie-58
Extrema: Wie schaut ne Bedingung da aus? Konnte das aus dem Workshop nicht ersehen.

Wendepunkte: ebenfalls Bedingungsproblem

Was noch dazu kommt... ich ralle das irgendwie nicht mit den Minimum und Maximum.

Im Folgenden sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die betrachtete (differenzierbare) Funktion.
1) Extrema, notwendige Bedinung: Wenn ein "inneres" Extremum vorliegt an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_E \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f'(x_E)=0 \end{eqnarray*}$ .
a) Maximum, (eine) hinreichende Bedinung:Wenn $\begin{eqnarray*} f'(x_1)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(x_1)<0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ ein lokales Maximum.
b) Minimum, (eine) hinreichende Bedinung: Wenn $\begin{eqnarray*} f'(x_2)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(x_2)>0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} f(x_2) \end{eqnarray*}$ ein lokales Minimum.
2) Wendepunkte, notwendige Bedingung: Wenn $\begin{eqnarray*} x_W \end{eqnarray*}$ Wendestelle ist, dann ist $\begin{eqnarray*} f''(x_W)=0 \end{eqnarray*}$ .
(eine) hinreichende Bedinung: Wenn $\begin{eqnarray*} f''(x_3)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'''(x_3)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ Wendestelle.

Und wenn du jetzt etwas nicht verstanden hast, dann sag, was es ist!

edit: Minimum steht für einen Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(x_2) \end{eqnarray*}$ , der in einer Umgebung um $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ der kleinste Funktionswert ist. Entsprechend steht das Maximum für den größten Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung um $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

08.02.2006, 21:31

klarsoweit

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Re: ...
Da wundert man sich, wieso du bislang bei 1-2 stehst.
Also notwendige Bedingung für Extremum: f'(x)=0
Hinreichende Bedingung für Maximum: f''(x) < 0
Hinreichende Bedingung für Minimum: f''(x) > 0

EDIT: zu spät, eben war ich allein im Board und auf einmal ist MSS da. traurig

08.02.2006, 21:34

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von klarsoweit
EDIT: zu spät, eben war ich allein im Board und auf einmal ist MSS da. traurig

Jochen und MrPSIs Antwort hast du aber gesehen? Ich habe mich auch gewundert, dass ich "nur" dritter war. Big Laugh

Oder war dein Beitrag schon ein Antwort auf den zweiten von Newbie-58? Wenn ja, dann sei nicht traurig: Meiner war eigentlich eine Antwort auf den ersten Post ... Augenzwinkern

Gruß MSS

08.02.2006, 21:52

Newbie-58

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Wow das geht ja schnell hier! Danke danke...

@MrPSI
deine größer bzw kleiner als zeichen stehen in deiner erklärung irgendwie falsch.

@klarsoweit
wieso wundert man sich da?

@MSS
Das mit der Menge der Ableitungen hat sich geklärt.
Ich kann mit dem Begriff "inneres Extremum" nichts anfangen und wie ist das mit lokal gemeint.

ich kenne schon den unterschied zw. global und lokal. allerdings kann ich in diesem bezug nichts damit anfangen!

08.02.2006, 22:08

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Newbie-58
Ich kann mit dem Begriff "inneres Extremum" nichts anfangen und wie ist das mit lokal gemeint.

Mit innerem Extremum meine ich, dass die Funktion in einer Umgebung um die Stelle $\begin{eqnarray*} x_E \end{eqnarray*}$ überhaupt definiert ist. Z.B. hat nämlich die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^+_0\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$

an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ein Minimum, allerdings ist die Ableitung dort nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Das liegt daran, dass die Funktion links von der $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist. Mit dem "inneren" meine ich also nur, dass das Extremum nicht am Rand liegt.
Wenn du eine Funktion hast, z.B.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-3x \end{eqnarray*}$

für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , dann hat diese bei $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ein lokales Minimum. Das heißt einfach, dass es eine Umgebung um $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ gibt, also z.B. das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ , wo alle Funktionswerte größer als $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ sind, also ist es dort ein Minimum. Wenn wir jetzt aber wieder die Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachten, dann ist es nicht der kleinste Wert (das wäre dann ein globales Minimum), weil die Funktion für $\begin{eqnarray*} x\to -\infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ geht.

Gruß MSS

08.02.2006, 22:11

Newbie-58

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...
Was ist, wenn eine Funktion negativ ist...

Also diese Form: F(x)= - 3x³+2x²+4

08.02.2006, 22:12

Newbie-58

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...
mit welchem programm kann ich eine solche funktion, wie du eben, als grafik darstellen?

das wäre schon mal ne gute hilfe.

08.02.2006, 22:13

Mathespezialschüler

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Was meinst du genau? Ob die Funktion negativ oder positiv ist, ist für meine Erklärungen irrelevant. Im Übrigen ist deine Funktion nicht immer negativ!
edit: Mit dem boardeigenen Funktionsplotter.

Gruß MSS

08.02.2006, 22:15

Newbie-58

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...
Jo prima... DANKE euch allen!!!

08.02.2006, 23:34

MrPSI

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Zitat:

Original von newbie-58
@MrPSI
deine größer bzw kleiner als zeichen stehen in deiner erklärung irgendwie falsch.

noch ein kleiner Zusatz meinerseits:
das was ich in meinen Beitrag geschrieben hab, waren keine Kleiner- oder Grösser-Zeichen, sondern das mathematische Zeichen für eine logische Und-Verknüpfung

09.02.2006, 08:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von Newbie-58
@klarsoweit
wieso wundert man sich da?

Also wenn du am Freitag eine Klausur schreibst, dann habt ihr doch sicherlich das Thema "Extremwerte und Wendepunkte" schon etwas länger. Wenn du 2 Tage davor entdeckst, daß dir grundlegende Kenntnisse fehlen oder du Zusammenhänge nicht verstanden hast, dann mußt du irgendwo was verpaßt haben. Daß ist für jemanden, der in Mathe bei 1-2 steht eher ungewöhnlich. Da würde ich erwarten, daß Verständnisschwierigkeiten direkt bei Beginn eines neuen Themas angegangen werden.

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