L'Hospital

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09.02.2006, 12:16	Sammy	Auf diesen Beitrag antworten »
L'Hospital Hallo, ich möchte folgenden Grenzwert berechnen: lim(x->0) x^2*ln(x) =: A Müsste wohl mit L'Hospital gehen, aber wenn ich den Ansatz A = lim(x->0) x^2/1/ln(x) wähle, um die Voraussetzungen für den Satz herzustellen, bringt mich der Übergang zum Quotienten der Ableitungen nicht weiter. Sicher simpel, aber ich komme nicht drauf! Sammy
09.02.2006, 12:29	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L'Hospital Substituiere x=e^y und bilde den Grenzwert y gegen minus unendlich.
09.02.2006, 12:57	Sammy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L'Hospital Interessante Idee, aber ich komme damit nicht weiter. Beim Übergang zum Quotienten der Ableitungen wird der Term ähnlich komplizierter wie schon in der Ausgangssituation. Ich erhalte: lim(x->-oo) e^(2x)x = lim(...) e^(2x)/(1/x) = lim(...) 2e^(2x)/(-1/x^2) = ? Sammy
09.02.2006, 13:42	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L'Hospital Ei, jei. $\begin{eqnarray} e^{2x} \cdot x = \frac{x}{e^{-2x}} \end{eqnarray}$ Und jetzt l'Hospital.
09.02.2006, 13:50	Sammy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L'Hospital Pardon, aber wenn wir nach wir vor lim(x->-oo) betrachten, geht dieser Nenner nicht gegen 0 und liegen die Voraussetzungen für L'Hospital in dieser Form nicht vor. Sammy
09.02.2006, 14:33	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L'Hospital Das siehst du falsch. Zähler und Nenner gehen gegen unendlich und dafür ist l'Hospital auch geeignet. Alternativ kannst du auch in deinem ursprünglichen Grenzwert x=1/y substituieren und ln(1/y) = -ln(y) verwenden.
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16.02.2006, 10:48	Sammy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Ich meinte mich zu erinnern, dass L'Hospital auch anwendbar ist, wenn Zähler und Nenner den GW oo haben, aber ich habe im Netz keinen ordentlichen Beweis gefunden. Kennst Du einen?
16.02.2006, 12:58	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf der Seite wikipediaRegel_von_L _Hospital ganz unten vorletzter Beweis. mfg, phi
16.02.2006, 18:31	Sammy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber dort geht ein, dass f(c)=g(c)=0. Wie läßt sich der Beweis für den Fall "f(c)=oo" usw. führen?
16.02.2006, 19:22	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, sorry ich hatte oo als oben 0 unten 0 gelesen. Also unendlich. Also der strenge Beweis ist zwar nicht so schwer, aber kommt erst mitten im 1-Semester in der Uni dran. Und da wird einiges von dem was man bis dahin gelernt hat angewandt. Der Beweis ist etwa eine halbe bis 3/4 Seite lang. Skizze: Aus dem Mittelwertsatz beweist man zunächst, das für eine differenzierbare Funktion auf dem offenen Intervall a bis oo $\begin{eqnarray} f : (a,\infty) -> \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} f'(x) =: ~ c \in \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x} =c \end{eqnarray}$ . Mit diesem Lemma, dem Satz von Rolle , dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion und aus Monotonie-betrachtung, folgt dann der zweite Satz von L´Hospital. Es gibt irgendwo im Netz ein super Sammlung von Skripten, die ich jetzt grad nicht finde. Ansonsten ein gutes Analysis 1 Buch, von Behrens, Forster (gut für Einsteiger) oder Heuser, Hildebrandt,.. (etwas anspruchvoller/Geschmacksache) mfg, phi
17.02.2006, 17:44	Sammy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber ist da nicht ein Fehler? Der von Dir angegebene Satz gilt z. B. nicht für f(x)=1/x + c, obwohl f diff'bar ist auf (0,oo) und lim(x->oo)f'(x)=c. Sammy
22.02.2006, 14:35	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
für f(x)=1/x + c ist aber f'(x) nicht c, sondern: $\begin{eqnarray} - \frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ mit Grenzwert 0, und f'(x)/x hat dann auch Grenzwert 0. mfg, phi
23.02.2006, 12:32	Sammy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, wie blöd. Danke.

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