Flussintegral

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09.02.2006, 12:43	TobsenMH	Auf diesen Beitrag antworten »
Flussintegral es soll der fluß $\begin{eqnarray} \vec{f}(x,y,z)=\begin{pmatrix} x^3 \\ y^3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durch den boden einer halbkugel $\begin{eqnarray} B=\{ (x,y,0)\mid x^2+y^2\leq 9\} \end{eqnarray}$ errechnet werden. also $\begin{eqnarray} \int_{B}^{}~\int_{}^{}~\vec{f}\vec{n}~dS \ \end{eqnarray}$ der nächste schritt der lösung ist dann direkt $\begin{eqnarray} \int_{x^2+y^2\leq 9}^{}~\int_{}^{}~-1~dx dy \ \end{eqnarray*}$ kann mir hier jemand mit zwischenschritten licht ins dunkle bringen?
09.02.2006, 12:58	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flussintegral Was ist denn der Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ der betrachteten Bodenfläche? Wenn du den hast, kannst du es ausrechnen. Grüße Abakus
09.02.2006, 17:58	TobsenMH	Auf diesen Beitrag antworten »
ist $\begin{eqnarray} \vec{n}= \begin{pmatrix} 2x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 2y \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4xy \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ???
09.02.2006, 18:42	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die Bodenfläche in der x-y-Ebene liegt, kann der Normaleneinheitsvektor nur eine nichtverschwindende z-Komponente haben. Und die muss 1 oder -1 sein (rein geometrisch). Natürlich kannst du den Normalenvektor auch über eine Parametrisierung der Bodenfläche richtig ausrechnen (im obigen Fall müsstest du noch normieren). Grüße Abakus
09.02.2006, 19:17	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu beachten ist hier auch das B als Mannigfaltigkeit definiert ist. Als Funktion ist die Bodenfläche $\begin{eqnarray} y=\sqrt{9-x^2} \end{eqnarray}$ Das ist wichtig für´s Vorzeichen. Wie habt ihr dS definiert, skalar oder vektoriell ? mfg, phi Edit: z-Funktion (Halbkugel) auf y-Funktion (Kreis) reduziert
09.02.2006, 19:24	TobsenMH	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank abakus! mein normalenvektor ist also: $\begin{eqnarray} \vec{n}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wenn ich das jetzt einsetze, würde bei mir aber: $\begin{eqnarray} \int_{x^2+y^2\leq 9}^{}~\int_{}^{}~1~dx dy \ \end{eqnarray}$ rauskommen... woher kommt in der musterlösung das neg vz? ich würde dann so weitermachen: $\begin{eqnarray} \int_{x^2+y^2\leq 9}^{}~\int_{}^{}~-1~dx dy \ \end{eqnarray}$ einführung von polarkoordinaten: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi}~\int_{0}^{3}~-r^2~dr d\phi \ \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} 2\pi -9 \end{eqnarray}$ in der musterlösung kommt aber $\begin{eqnarray} -9\pi \end{eqnarray*}$ raus...???
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09.02.2006, 19:30	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen Vorzeichen siehe Beitrag oben. Die Jacobi-Determinante der Polarkoordinaten ist r
09.02.2006, 19:35	TobsenMH	Auf diesen Beitrag antworten »
@ phi: sry, hatte deinen beitrag erst zu spät gesehen... wir haben dS sowohl kartesisch, als auch vektoriell definiert... zum begriff "jacobi determinante" finde ich weder in unserem skript, noch im papula etwas...!? die ist "schuld" am neg vz??? würdest du mir nochmal auf die sprünge helfen?
09.02.2006, 19:54	TobsenMH	Auf diesen Beitrag antworten »
-> bzgl. des "fehlers": habe ihn glaube ich selbst gefunden: es handelt sich ja um eine HALBKUGEL, also gilt $\begin{eqnarray} 0\leq \phi\leq \pi \end{eqnarray}$ dann passt es! (jedoch weiß ich noch immer net, wo das neg vz herkommt...)
09.02.2006, 19:54	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das Vorzeichen hangt von der Fläche B ab, aber als Funktion definiert. x^2 + y^2 wäre als Funktion gedeutet ein Parabloid... Es ist aber als Mannigfaltigkeit defieniert : x^2 + y^2 kleiner als 9 . Als Funktion ist eine Halbkugel $\begin{eqnarray} z=\sqrt{9-x^2-y^2} \end{eqnarray}$ , und da uns nur die Bodenfläche intressiert, nehmen wir die Kreisfunktion $\begin{eqnarray} y=\sqrt{9-x^2} \end{eqnarray}$ und haben dann die Ableitung -2x, die normiert dann -1 ergibt. mfg,phi
10.02.2006, 09:48	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
r nicht r^2 moin, Ich war gestern bei der Ableitung von $\begin{eqnarray} \sqrt{9-x^2} \end{eqnarray}$ etwas ungenau, es ist $\begin{eqnarray} - \frac{x}{\sqrt{9-x^2} } \end{eqnarray}$ . Und damit erhälst du : $\begin{eqnarray} \vec{n}= \begin{pmatrix} - \frac{x}{\sqrt{9-x^2} } \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ - \frac{x}{\sqrt{9-x^2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Normiert gibt dass -1. Das $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ läuft schon von 0 bis 2 PI, denn in der x,y-Ebene haben wir einen vollen Kreis. Nur PI würde sich auf z beziehen (theta). Die Umrechnung in Polarkoordinaten ist r , nicht r^2 . Jacobideterminante ist die Ableitungsmatrix der Koordinatentransformation, wird auch Funktionaldeterminante genannt. Und (auch bei Wikipedia) für die Funktionaldeterminante in ebenen Polarkoordinaten erhält man $\begin{eqnarray} \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}=\begin{vmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi \end{vmatrix}=r \end{eqnarray}$ Der Grund warum du mit der falschen Rechnung dennoch das richtige Ergebniss erhälst ist weil $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} 3^3=9 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3^2=9 \end{eqnarray}$ ebenfalls. Integral von r ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} 3^2=9 \end{eqnarray}$ ... mfg, phi
10.02.2006, 17:26	TobsenMH	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank phi! jetzt aber nochmal eine frage: mein fehler war ja, dass ich den normalenvektor nicht normiert habe... in der aufg in der anlage, rechnen die aber extra mit dem "nicht- normierten Normalenvektor"... gibt es da eine regel, wann man normieren muss und wann nicht? oder wie wird das entschieden?

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