Volumen schräg liegender Zylinder

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Poff Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen schräg liegender Zylinder
Hihi,

... wo gerade das Volumen eines liegenden Zylinders bei
Teilfüllung gefragt war ....


hier mal ne Steigerung für 'Leo' *gg*

Wie sieht's mit dem Volumen aus, wenn der Zylinder NICHT
waagerecht sondern um den Anstiegswinkel a schräg liegt ...

als Füllstandshöhe sei der maximal ermittelbare Flüssigkeitsstand
(vertikal) gegeben.


Das Resultat kenne ich selbst nicht, weiß auch nicht ob ich es
überhaupt wissen will, aaber wer nicht's besseres zu tun hat
kanns ja mal 'erknobeln' ... Augenzwinkern


smile
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Hat ja auch einen realen Bezug - ich denke da an Kölschgläserin Aktion. :]

johko
 
 
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ein Beispiel poste:

Radius= 100mm
Länge= 500mm
a= 30° gegen die Waagerechte

'gemessene' (max) Füllstandshöhe h= 110mm


das von mir errechnete Füllvolumen V

V= 2015404.788 mm³ = 2.015404788 Ltr


smile

ob das wirklich stimmt wird sich später zeigen verwirrt
wollte mich damit halt selbst mal 'festnageln' ...



... sorry, wollte KEINE Doppelpost,
leider zu spät gesehen, dass ich selbst zuletzt gepostet hatte

da ich keine Postings mehr löschen kann, kann ich's nicht wieder
ausmerzen . geschockt

Edi, das Tier hat zugeschlagen und deinen Wunsch für dich erfüllt! :P
Johko Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
ich hab noch nicht probiert, die Formel herzuleiten. Ich will aber vorher mal etwas fragen, damit ich weiß, ob ich es überhaupt schon herleiten kann.
Reicht denn Kreisgeometrie (Flächenberechnung der Teile o.Ä.) aus, um diese Formel herzuleiten? Denn wenn man solch einen schräg liegenden Zylinder hat, und von oben darein guckt, so ist die Oberfläche der Flüssigkeit, die man da von oben sieht, doch eine Ellipse bzw. ein Ellipsenabschnitt (Ellipsensegment) (hängt davon ab, ob die Zylindergrundfläche völlig überdeckt wird oder nicht).
Das stimmt doch erstmal???!
Braucht man also zur Herleitung der Formel auch Berchnung von anderen ebenen geometrischen Figuren, wie z.B. der Ellipse, oder reicht die Kreisgeometrie?
Danke für alle Antworten!!!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
schräg liegender Zylinder
Und ich verstehe eines nicht:
Wenn Grundkreisradius und Höhe des Zylinders bekannt sind sowie der Neigungswinkel gegen die Horizontale, dann liegt doch die maximal mögliche Befüllung fest (damit's nicht überläuft). Wie kannst du da noch über die Füllhöhe verfügen?
juergen Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten doch so eine Fragestellung vor kurzem im Rätselthread.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathespezialschüler

Du das ist schwierig zu beantworten ....

eine Menge verschiedener Wege führen nach Rom.


Die Frage war BEWUSST nicht ganz 'ernst' gemeint .... was aber
Keine(n) davon abhalten braucht ...

Ich denke es sind 3 verschiedene 'Phasen' wovon 2 gleich sind.
Eine einfache 'Formel' solltest du NICHT erwarten .... Augenzwinkern

Ob du sie ausrechnen kannst ??
Ich denke EHER nein ... was dich aber NICHT davon abhalten
braucht dir mal Gedanken drum zu machen ...

.... aaaaber eines solltest du wissen, das muss man NICHT können !!
weiß ja selbst nicht ob ich es kann ...



@Leopold

da ist die Füllstandshöhe bei Teilfüllung gemeint ....
... unterstellt man könne diese durch den Zylindermantel hindurch
messen bzw ermitteln.
Da je nachdem 'wie man misst' verschiedene 'Höhen' sich
ergeben kÖNNTEN, sollte die maximal dabei 'messbare' Höhe
per Def die Füllhöhe sein. ETWAS ungeschickt und IMMER noch
unklar von mir formuliert ...

Nun anders: Die Füllhöhe ist genau das was man sich normalerweise
auch darunter vorstellt, nämlich die Höhe die ein außen
angebrachtes senkrecht stehendes Standrohr anzeigen würde
wenn es zugleich auch jeden minimalsten Füllstand gerade noch
zur Anzeige bringen könnte.



smile
.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
schräg liegender Zylinder
Ich habe mir das Folgende überlegt:

Gegeben ein hohler, oben offener Zylinder vom Grundkreisradius r und der Höhe h. Der Zylinder wird um den Winkel alpha zur Horizontalen geneigt. Wieviel Flüssigkeit kann er dann maximal enthalten, so daß er nicht überläuft?

Im Falle cot(alpha)<=h/(2r) habe ich die folgende Volumenformel gefunden:



Für cot(alpha)=h/(2r) ist der Zylinder genau halbvoll. Für alpha=90° geht die Formel in die Zylinderformel über.

Paßt das mit deinen Ergebnissen zusammen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schräg liegender Zylinder
Warum ist denn mit der Höhe h und dem Grundkreisradius r des Zylinders?? Muss es nicht die Höhe h sein, die man erhält, wenn man ein (gerades) Messgerät senkrecht auf den Boden stellt? Veilleicht kannst du das mal an einer Zeichnung verdeutlichen??!
Dank dir!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Schau einmal in deinem E-Mail-Postkasten nach.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke für die Lösung! Ich verstehe sie, wie du gesagt hast, natürlich nicht. Ich kanns ja trotzdem mal mit dem Satz des Cavalieri probieren, wenn ich Zeit finde.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schräg liegender Zylinder
@Mathespezialschüler

das grenzt die Gültigkeit der Formel auf einen bestimmten Bereich
von a = 90° ... b>= c=arccot(...) ein
und das hat einen ganz bestimmten Grund ...

90° ist der stehende Zylinder ...

smile


@Leopold

ich muss erst mal umdenken, dieweil du was 'völlig' anderes
berechnet hast als ich ...
aber das macht nichts, weil sich das eh in verschiedene
Phasen aufteilt, zwangsweise ...

du hast das 'Kölschglas' ...

...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schräg liegender Zylinder
Ja, danke Poff,
ich habs verstanden. Ich hatte vorher nur das übersehen bei dem .

@Leopold
Deine Lösung trifft doch nur zu, wenn die ganze Grundfläche überdeckt wird!? Was ist, wenn der Winkel so klein ist oder so wenig Flüssigkeit im Zylinder vorhanden ist, dass man, wenn man reinguckt, einen Teil der Grundfläche sieht. Gilt deine Formel dann auch?? Wohl eher nicht, denn dann ist ja !!???
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schräg liegender Zylinder
Zitat:
Original von Mathespezialschüler
...
Deine Lösung trifft doch nur zu, wenn die ganze Grundfläche überdeckt wird!?

GENAU das will er doch damit erreichen !!!
mit dieser Einschränkung Augenzwinkern

.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schräg liegender Zylinder
Ja, das is mir auch klar geworden, aber dann haste ja keine Formel für !
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schräg liegender Zylinder
Zitat:
Original von Leopold
...
Im Falle cot(alpha)<=h/(2r) habe ich die folgende Volumenformel gefunden:



Paßt das mit deinen Ergebnissen zusammen?


Jaa, passt zusammen.

Habs jetzt nur mal an einem konkreten Spezialfall mit meinem
überprüft, denn das bei dir oben ausgelaufene Volumen
ist ja NUR passend zu dem bei mir, beim Auffüllen von unten,
beim exakten Fluten der Grundfläche anfallenden Volumen.

da passen beide Resultate zusammen.

bei mir ist das jedoch nur Spezialfall, ...


smile


ich meine, ich hätte 'ein' gültiges Resultat für alle a mit
cot(a)<=h/2r bzw Länge/2r also a > ....

dies dann aber für den VOLLSTÄNDIGEN 'Füllablauf' eines
AUCH oben geschlossenen Zylinders ...

für den Fall cot(a)< Länge/2r fehlt mir noch was,
das ich womöglich auch schon haben könnte, nur ist das
noch nicht näher durchdacht bzw überprüft.

obwohl diese 'Grenzstelle' mit der von dir zusammenfällt,
deckt das meinige dabei jedoch was ganz anderes ab ...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schräg liegender Zylinder
---------------------------------------------Edit------------------------------------------------

Ich habs rauseditiert.

Die Lösung war natürlich falsch. Ich hab nicht beachtet, dass du die Formel dafür willst, dass man den Zylinder so neigt, dass die Flüssigkeit so weit wie möglich am oberen Rand ist, aber trotzdem nicht rausfließt. Da muss es dann natürlich eine extra Formel sein. Danke für den Hinweis!!!!!
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schräg liegender Zylinder
Nein, das stimmt nicht, weil 'Leopolds' Auslaufmenge von der
Menge verschieden ist, die sich bei gleicher Höhe an Luft
einstellen würde, wäre der Zylinder geschlossen ...

und dies entspräche einem 'Auffüllzustand' ...

das zumindest bis zu einem bestimmten Punkt ....
du kannst natürlich diese Restmenge berechnen, aber das
bringt eigentlich nicht weiter ....

und für cot(a)> ...
dürfts schon garnicht simmen ...
will aber mal etwas vorsichtig sein, hier schleicht sich derweil
zuviel Durcheinander ein ....
so dass mitunter alle von Verschiedenem reden ...

musst schon ziemlich genau präzisieren, wenns keine
'Verwechslungen' nach sich ziehen soll ...

smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei meiner "Kölsch"-Lösung habe ich auch den Fall cot(alpha)>h/(2r). Die Formel ist allerdings (im Moment noch) so lang, daß ich sie keinem zumuten will.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Bei meiner "Kölsch"-Lösung habe ich auch den Fall cot(alpha)>h/(2r).


dieser 'offene' Bereich von a=0° bis ..., der ist bei mir auch abgedeckt,

NUR, für den geschlossenen Zylinderfall fehlt dann ein Teilstück ...


Ich weiß nicht ob es sinnvoll ist hier nach simplen Formeln
zu streben ....

Du kannst es natürlich machen besonders wenn du was vor Augen
siehst und es der Mühe wert erscheint vor allem wenn du's
'griffbereit' vor Augen siehst.


Ich werde dieses Ziel NICHT anstreben.
Mir genügt es wenn ich das Problem als solches im Griff hab,
der Rest ist MIR egal, zumal mir das ja eh KEIN ernstes Anliegen
war solch ein Ziel zu erreichen.


Da das 'Kölschmodell' und das andere sich doch etwas
unterscheiden, sollte immer dazugepackt werden obs sich nun
darum oder darum dreht, um unötigen Missverständnissen
vorzubeugen.


smile
.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines schräg liegenden Zylinders
Es soll das maximale Flüssigkeitsvolumen eines oben offenen schräg stehenden Zylinders berechnet werden. Ich beziehe mich auf die Angaben der Figur unten. Das gesuchte Volumen ergibt sich als Differenz des gesamten Zylindervolumens und des Restvolumens links oben. Um dieses Restvolumen zu bestimmen, bilden wir Schnitte senkrecht zur Grundebene des Zylinders. Aus dem Restvolumen wird dabei ein Rechteck ausgeschnitten (linkes Bild, gestrichelte Linie) mit
der Höhe
und der Breite (rechtes Bild).
Integration über diese Rechtecksflächen für x=0 bis x=2r liefert das gesuchte Restvolumen. Für das Integral substituiere ich x=r·(1+u), dx=r·du:






In der Klammer ist das zweite Integral 0, weil der Integrand einen zum Ursprung punktsymmetrischen Graphen besitzt, das erste Integral berechnet aber den halben Einheitskreis. Also gilt:



Also ist das gesuchte maximale Flüssigkeitsvolumen



Das Ganze ist nur gültig für .
Der Grenzfall tritt ein, wenn der Zylinder so geneigt ist, daß das maximale Flüssigkeitsvolumen gerade die Hälfte des Zylindervolumens ausmacht.

Da eine relativ einfache Formel herauskommt, erscheint mir die ganze Rechnung etwas aufwendig. Gibt es einen (mehr oder weniger) elementar-geometrischen Zugang zu der Formel?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen eines schräg liegenden Zylinders
@Leopold

... du bist schon eine 'Kanone'
ich hoffe du verstehst das richtig ... Augenzwinkern


smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@Poff:
Die ganze Zeit überlege ich mir, was du wohl mit der Kanone meinst.
Jetzt weiß ich's: Mit der Kanone auf Spatzen geschossen!
Immerhin hat mir das Nachdenken zur Lösung verholfen. Oh, es ist so peinlich! (alter Hase! erschwerende Umstände!)
MITTELWERT! MITTELWERT! MITTELWERT!

@Mathespezialschüler:
MITTELWERT! MITTELWERT! MITTELWERT!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm... ich versteh jetzt wirklich überhaupt nicht, was ihr beide meint!!!!!!
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathespezialschüler

....
Was 'Leopold' sagen wollte ist in etwa .. :
Wenn du dich nochmal hinsetzt, ORDENTLICHE Skizze machst,
kräftig nachdenkst, kannst du seine Formel mit deinen Mitteln
ebenfalls herleiten,



Augenzwinkern
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Beispiel

Inhaltstabelle eines um Alpha gegen die Waagerechte
schraeg liegenden 'geschlossenen' Zylinders
(Alpha > .0005°)



Alpha = 30°
Radius = 100 mm
Laenge = 500 mm

Besondere verfahrenstechnische Schwellen
tan(Alpha) = .5773502691896257
tan(Alpha)-2r/L = .1773502691896257
untere Schwelle = 173.2050807568877
obere Schwelle. = 250
max Fuellhoehe. = 423.2050807568877



Schrittweite = 10 .. 1 .. 0,1 .. 0,01

Fuellhoehe ..... Inhalt ............... Diff1 ........... Diff2
.. (mm) ........ (mm^3)

.205080 .. .356406682537 .. .35640668 .. .35640668
10.2050 .. 6147.86594525 .. 6147.5095 .. 6147.1531
20.2050 .. 33474.7644226 .. 27326.898 .. 21179.388
30.2050 .. 90255.6617173 .. 56780.897 .. 29453.998
40.2050 .. 181969.333683 .. 91713.671 .. 34932.774
50.2050 .. 312597.306587 .. 130627.97 .. 38914.300
60.2050 .. 485067.075052 .. 172469.76 .. 41841.795
70.2050 .. 701467.363677 .. 216400.28 .. 43930.520
80.2050 .. 963165.893724 .. 261698.53 .. 45298.241
90.2050 .. 1270874.43436 .. 307708.54 .. 46010.010
100.205 .. 1624679.49336 .. 353805.05 .. 46096.518
110.205 .. 2024045.91221 .. 399366.41 .. 45561.359
120.205 .. 2467794.16143 .. 443748.24 .. 44381.830
130.205 .. 2954046.11724 .. 486251.95 .. 42503.706
140.205 .. 3480124.91853 .. 526078.80 .. 39826.845
150.205 .. 4042374.35843 .. 562249.43 .. 36170.638
160.205 .. 4635803.84796 .. 593429.48 .. 31180.049

160.205 .. 4635803.84796 .. 60565.484 .. 251.75989 ... Lupe Step 1
161.205 .. 4696612.69019 .. 60808.842 .. 243.35817
162.205 .. 4757656.06660 .. 61043.376 .. 234.53417
163.205 .. 4818924.68116 .. 61268.614 .. 225.23815
164.205 .. 4880408.70457 .. 61484.023 .. 215.40885
165.205 .. 4942097.69728 .. 61688.992 .. 204.96929
166.205 .. 5003980.51051 .. 61882.813 .. 193.82050
167.205 .. 5066045.15511 .. 62064.644 .. 181.83138
168.205 .. 5128278.62149 .. 62233.466 .. 168.82176
169.205 .. 5190666.61954 .. 62387.998 .. 154.53167
170.205 .. 5253193.17761 .. 62526.558 .. 138.56001
171.205 .. 5315839.95900 .. 62646.781 .. 120.22331
172.205 .. 5378584.88659 .. 62744.927 .. 98.146201

172.205 .. 5378584.88659 .. 6278.1583 .. .73369615 ... Lupe Step 0.1
172.305 .. 5384863.74469 .. 6278.8581 .. .69972955
172.405 .. 5391143.26678 .. 6279.5220 .. .66398175
172.505 .. 5397423.41501 .. 6280.1482 .. .62614651
172.605 .. 5403704.14906 .. 6280.7340 .. .58581739
172.705 .. 5409985.42555 .. 6281.2764 .. .54243459
172.805 .. 5416267.19722 .. 6281.7716 .. .49518857
172.905 .. 5422549.41172 .. 6282.2145 .. .44282730
173.005 .. 5428832.00944 .. 6282.5977 .. .38321220
173.105 .. 5435114.91918 .. 6282.9097 .. .31202843

173.105 .. 5435114.91918 .. 628.30260 .. .00232682 ... Lupe Step 0.01
173.115 .. 5435743.22400 .. 628.30482 .. .00221852
173.125 .. 5436371.53093 .. 628.30693 .. .00210463
173.135 .. 5436999.83985 .. 628.30891 .. .00198419
173.145 .. 5437628.15062 .. 628.31077 .. .00185591
173.155 .. 5438256.46311 .. 628.31248 .. .00171802
173.165 .. 5438884.77717 .. 628.31405 .. .00156797
173.175 .. 5439513.09263 .. 628.31545 .. .00140181
173.185 .. 5440141.40930 .. 628.31667 .. .00121279
173.195 .. 5440769.72696 .. 628.31765 .. .00098726 .. schöner
173.205 .. 5441398.04530 .. 628.31834 .. .00068419 .. Übergang
173.215 .. 5442026.36383 .. 628.31853 .. .00018777
173.225 .. 5442654.68236 .. 628.31853 .. 0
173.235 .. 5443283.00089 .. 628.31853 .. 0
173.245 .. 5443911.31942 .. 628.31853 .. 0
173.255 .. 5444539.63795 .. 628.31853 .. 0
173.265 .. 5445167.95648 .. 628.31853 .. 0
173.275 .. 5445796.27502 .. 628.31853 .. 0
173.285 .. 5446424.59355 .. 628.31853 .. 0
173.295 .. 5447052.91208 .. 628.31853 .. 0 .... "Cavalieri" -
173.305 .. 5447681.23061 .. 628.31853 .. 0

173.405 .. 5453964.41591 .. 6283.1853 .. 0
173.505 .. 5460247.60122 .. 6283.1853 .. 0
173.605 .. 5466530.78653 .. 6283.1853 .. 0
173.705 .. 5472813.97184 .. 6283.1853 .. 0
173.805 .. 5479097.15714 .. 6283.1853 .. 0
173.905 .. 5485380.34245 .. 6283.1853 .. 0
174.005 .. 5491663.52776 .. 6283.1853 .. 0


200.205 .. 7137858.07824 .. 628318.53 .. 0
210.205 .. 7766176.60896 .. 628318.53 .. 0 .... Phase
220.205 .. 8394495.13968 .. 628318.53 .. 0
230.205 .. 9022813.67039 .. 628318.53 .. 0
240.205 .. 9651132.20111 .. 628318.53 .. 0


249.935 .. 10262486.1314 .. 628.31853 .. 0 ............ Lupe Step 0.01
249.945 .. 10263114.4500 .. 628.31853 .. 0
249.955 .. 10263742.7685 .. 628.31853 .. 0
249.965 .. 10264371.0870 .. 628.31853 .. 0
249.975 .. 10264999.4056 .. 628.31853 .. 0
249.985 .. 10265627.7241 .. 628.31853 .. 0
249.995 .. 10266256.0426 .. 628.31853 .. 0
250.005 .. 10266884.3611 .. 628.31849 .. -.00003443
250.015 .. 10267512.6792 .. 628.31804 .. -.00045382
250.025 .. 10268140.9964 .. 628.31718 .. -.00085351
250.035 .. 10268769.3124 .. 628.31608 .. -.00110774
250.045 .. 10269397.6272 .. 628.31476 .. -.00131226
250.055 .. 10270025.9405 .. 628.31328 .. -.00148855
250.065 .. 10270654.2521 .. 628.31163 .. -.00164591
250.075 .. 10271282.5620 .. 628.30984 .. -.00178939
250.085 .. 10271910.8699 .. 628.30792 .. -.00192214
250.095 .. 10272539.1758 .. 628.30587 .. -.00204625
250.105 .. 10273167.4795 .. 628.30371 .. -.00216323


250.205 .. 10279450.3754 .. 628318.17 .. -.35640668
260.205 .. 10901621.3966 .. 622171.02 .. -6147.1531
270.205 .. 11502613.0288 .. 600991.63 .. -21179.388
280.205 .. 12074150.6622 .. 571537.63 .. -29453.998
290.205 .. 12610755.5210 .. 536604.85 .. -34932.774
300.205 .. 13108446.0788 .. 497690.55 .. -38914.300
310.205 .. 13564294.8410 .. 455848.76 .. -41841.795
320.205 .. 13976213.0831 .. 411918.24 .. -43930.520
330.205 .. 14342833.0838 .. 366620.00 .. -45298.241
340.205 .. 14663443.0739 .. 320609.99 .. -46010.010
350.205 .. 14937956.5456 .. 274513.47 .. -46096.518
360.205 .. 15166908.6575 .. 228952.11 .. -45561.359
370.205 .. 15351478.9390 .. 184570.28 .. -44381.830
380.205 .. 15493545.5139 .. 142066.57 .. -42503.706
390.205 .. 15595785.2433 .. 102239.72 .. -39826.845
400.205 .. 15661854.3341 .. 66069.090 .. -36170.638
410.205 .. 15696743.3753 .. 34889.041 .. -31180.049
420.205 .. 15707672.5764 .. 10929.201 .. -23959.840

420.205 .. 15707672.5764 .. 305.29500 .. -138.56001 ... Lupe Step 1
421.205 .. 15707857.6481 .. 185.07168 .. -120.22331
422.205 .. 15707944.5735 .. 86.925483 .. -98.146201
423.205 .. 15707963.2679 .. 18.694356 .. -68.231126

422.205 .. 15707944.5735 .. 5.0269316 .. -.73369616 ... Lupe Step 0.1
422.305 .. 15707948.9007 .. 4.3272021 .. -.69972955
422.405 .. 15707952.5640 .. 3.6632203 .. -.66398175
422.505 .. 15707955.6010 .. 3.0370738 .. -.62614651
422.605 .. 15707958.0523 .. 2.4512564 .. -.58581739
422.705 .. 15707959.9611 .. 1.9088218 .. -.54243459
422.805 .. 15707961.3748 .. 1.4136332 .. -.49518857
422.905 .. 15707962.3456 .. .97080598 .. -.44282731
423.005 .. 15707962.9331 .. .58759378 .. -.38321220
423.105 .. 15707963.2087 .. .27556534 .. -.31202843

423.105 .. 15707963.2087 .. .01592283 .. -.00232682 ... Lupe Step 0.01
423.115 .. 15707963.2224 .. .01370430 .. -.00221852
423.125 .. 15707963.2340 .. .01159967 .. -.00210463
423.135 .. 15707963.2436 .. .00961547 .. -.00198419
423.145 .. 15707963.2514 .. .00775956 .. -.00185591
423.155 .. 15707963.2574 .. .00604154 .. -.00171801
423.165 .. 15707963.2619 .. .00447356 .. -.00156798
423.175 .. 15707963.2650 .. .00307174 .. -.00140182
423.185 .. 15707963.2668 .. .00185894 .. -.00121279
423.195 .. 15707963.2677 .. .00087168 .. -.00098726
423.205 .. 15707963.2679 .. .00018727 .. -.00068441

voll



Zentrale Rolle spielt dabei eine Formel, die das Füllvolumen
des Zylinders im 'Bereich der Grundkreisspülung' errechnet.

Die Formel selbst ist nicht 'sonderlich' komplex, aaber es
müssen einige Fallunterscheidungen gemacht werden,
was die Gesamt-Praktikabilität dann doch stark einschränkt.

Aber sie existiert und das sogar in SIMPLER 'Programmform'

Mit einem Bereich 5/10000° bis 90° deckt das Programm
praktisch den ganzen Bereich vom waagerecht bis senkrecht ab
...



smile
.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hab mir auf Poffs Wunsch nochmal die Formel von Leopold angeguckt und versucht mit meinen Mitteln sie aus der Zeichnung herzuleiten. Das habe ich dann auch geschafft, ich poste die Herleitung mal:

Erstmal eine Zeichnung

http://server5.uploadit.org/files/Mathespeziler-Unbenannt1.JPG

Also, der "obere Zylinder" hat das Volumen



Der nichtgefüllte Teil ist die Hälfte dieses Zylinders.



Das gesuchte Volumen ist dann die Differenz des gesamten Zylinders und der Hälfte des oberen Zylinders, also



Für z gilt:





In die Volumenformel eingesetzt:







Ich versteh ja nicht ganz, warum diejenigen, die die Herleitung, die Leopold uns gezeigt hat, verfassten, das so kompliziert mit Integralrechnung gemacht haben, wenn es mit so einfachen Umformungen geht. Aber is ja auch egal.

Eigentlich fehlt ja aber immernoch eine Formel für den Fall, dass



Vielleicht habt ihr ja ne Idee. Ich kann auch nochmal was probieren.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

------------------------------------------------------------Edit----------------------------------------------------------

Ich hab mal die falsche Lösung rauseditiert. Ich lass aber das Bild einfach mal hier.

http://server5.uploadit.org/files/Mathespeziler-Unbenannt3.JPG
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Hier die 'Haupt-Formel', die im 'Verbund' mit Weiterem
DIE obige Inhaltstabelle berechnet hat.


. . . . . . .


Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie hast du die hergeleitet??
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathespezialschüler

... mit deiner 2. Formel bist du übers Ziel hinausgeschossen,
denk nochmal GENAU drüber nach ....


... hier mal ein Beispielswert der sich einstellen sollte:

r=100 mm
h(Länge) =500 mm
alpha= 10°

V= 2805770.96788 mm³ ..
(bei einer internen Flüssigkeitshöhe von 86.8240888 mm)

ich hoffe mal dass ich mich auf die Schnelle nicht vertan habe,
werds nochmal checken ...


smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist gar nicht die Hälfte, stimmts? verwirrt
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... das könnte hinkommen . Augenzwinkern
.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich editiers mal better raus. :P
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Wie's manchmal so geht, wenn man mit solch einem Unfug anfängt,
hier das Ergebnis ...
(nun wollt ich mal nicht nach sowas suchen ... :-/)



Berechnung des Füllvolumens V eines teilgefüllten schräg
liegenden 'geschlossenen' Zylinders bei gegebener Füllhöhe H

(Standrohr)


Die Maße des Zylindes sind:
r= Radius der beiden Grundkreise,
L= Länge des Zylinders (vertikal zum Grundkreis)
a = Anstiegswinkel gegen die Horizontale. (0° = liegend)
H = die am vertikalen Standrohr abgelesene Flüssigkeitshöhe.


Es sind diverse Fallunterscheidungen zu treffen, dazu
ist insbesondere zu ermitteln ...
(Dies lässt sich kaum vermeiden, da völlig unterschiedliche
Füllzustandsabläufe stattfinden.)




tan(a)

H1 = 2 r * cos(a) .............. (untere) Schwelle1
H2 = L * sin(a) .................. (obere) Schwelle2




Fall 1 ..... tan(a) >= (2 * Radius/ Länge)
Zylinder liegt so 'steil',
dass die Flüssigkeit jeweils nur EINEN Grundkreis TEILWEISE benetzen kann




H < H1 . . . . ( Flüssigkeit noch im unteren Grundkreises )

dann ist V = Vgks(H)







H1 <= H <= H2 . . . ( unterer Grundkreis ganz geflutet, elliptische Phase )

dann ist V = Pi*r^3*cot(a) + (H - H1)* r^2*Pi/sin(a)







H > H2 . . . . . ( Flüssigkeit im Bereich des oberen Grundkreises )

dann ist V = Pi*r^2*L - Vgks(H1 + H2 - H)










Fall 2 ...... 0 < tan(a) < (2 * Radius / Länge)
Zylinder liegt so flach,
dass die Flüssigkeit ZUGLEICH beide Grundkreise TEILWEISE benetzen kann




H <= H2 . . . ( Flüssigkeit nur mit unterem Grundkeis in Kontakt )

dann ist V = Vgks(H)







H2 < H < H1 . . . . ( Flüssigkeit berührt beide Grundkreise )

dann ist V = Vgks(H) - Vgks(H-H2)







H >= H1 . . . . ( unterer Grundkreis voll geflutet )

dann ist V = Pi*r^2*L - Vgks(H1 + H2 - H)










Vgks(X) wird dabei wie folgt berechnet :
setze : u = X / (r*cos(a))


Vgks(X) = - r³/tan(a) *[(1-u)* arccos(1-u) - sqrt(2u-u²) + 1/3
sqrt((2u-u²)³)]





.
.
.
JfK Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

habe den thread mit großer Aufmerksamkeit gelesen, brauche so eine Volumenberechnung nämlich gerade für meine Diplomarbeit.

Frage: Gibt es da irgendwelche "offizielle" Literatur/ Uni-Websites, in denen diese Problematik erörtert wird? Macht sich besser als Quellenangabe :-)
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

welch Wunder, dass das wer braucht, außer mir Augenzwinkern
...



Hallo,

ob du dazu im Netz was findest kann ich dir nicht sagen,
zu dem hier, sicherlich nicht, denn das ist komplettes Eigengewirke.


Zur besseren Übersicht hab ich oben bei der Formelpost, eine
SKIZZE angehängt, welche die unterschiedlichen Abläufe etwas veranschaulicht.

Dabei stellt der FALL 2 das dar, was man üblicherweise in
der Praxis, unter einem schräg liegenden Zylinder versteht.
FALL 1 ist eher mit schräg stehendem Zylinder richtig beschrieben
.
JfK Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung??
Hallo,

besten Dank für die Antwort. Bisher habe ich wirklich noch keine weitere Literatur/Websites gefunden die sich damit befassen. Daher folgende Frage: Hast Du evtl. sowas wie eine Herleitung zu dem Formelzusammenhang? Für mich wäre hauptsächlich Fall 2, H<=H2 (bzw. in meinem Fall H=H2) und evtl. noch H2<H<H1 interessant. Das würd mir auch schon helfen, denn damit könnt ich ja belegen, dass die Formel stimmt. Mir fehlt leider Zeit + Wissen + Übung, um die Herleitung zu machen.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

einen schönen, vereinfachenden EndWert für h = H2 kannst nicht
erwarten, sollte klar sein warum. Da bleibt nur das Einsetzen in die
Formel selbst, oder ein spezieller numerischer Wert eben.


Schöne Werte gibts für h = 1/4*H1, 1/2*H1, 3/4*H1, H1 sofern
die jeweiligen Höhen unterhalb H2 liegen (im Fall1 immer erfüllt,
in deinem eher nicht).
dann ist:













Die Formel ist keine Näherungslösung sondern die exakte Lösung,
mehrfach quergeprüft gegen mindestens 3 verschiedene Ansätze mit
'unterschiedlichen allgebraischen' Resultaten. Dabei völlige numerische
Übereinstimmung, trotz 'unterschiedlicher allgebraischer' Formen.



Die Formel stimmt, belegt sich selbst, weil sie nicht widerlegt
werden kann ... Augenzwinkern
.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Lässt man komplexe Funktionswerte zu und betrachtet deren
reelle Projektion als das Volumen, dann lässt sich, zumindest formal,
nochmal gut vereinfachen. So gibts KEINE verschiedenen Fälle,
Lagen und Winkel mehr zu betrachten.

Für das Volumen V(h) eines entsprechenden Zylinders gilt dann,
UNABHÄNGIG von Lage usw.



0 < alpha <90°






dabei ist


mit u:= x / (r*cos(a))
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