Volumen schräg liegender Zylinder |
30.04.2004, 15:24 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Volumen schräg liegender Zylinder ... wo gerade das Volumen eines liegenden Zylinders bei Teilfüllung gefragt war .... hier mal ne Steigerung für 'Leo' *gg* Wie sieht's mit dem Volumen aus, wenn der Zylinder NICHT waagerecht sondern um den Anstiegswinkel a schräg liegt ... als Füllstandshöhe sei der maximal ermittelbare Flüssigkeitsstand (vertikal) gegeben. Das Resultat kenne ich selbst nicht, weiß auch nicht ob ich es überhaupt wissen will, aaber wer nicht's besseres zu tun hat kanns ja mal 'erknobeln' ... |
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30.04.2004, 17:38 | johko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hat ja auch einen realen Bezug - ich denke da an Kölschgläserin Aktion. :] johko |
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30.04.2004, 22:49 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mal ein Beispiel poste: Radius= 100mm Länge= 500mm a= 30° gegen die Waagerechte 'gemessene' (max) Füllstandshöhe h= 110mm das von mir errechnete Füllvolumen V V= 2015404.788 mm³ = 2.015404788 Ltr ob das wirklich stimmt wird sich später zeigen wollte mich damit halt selbst mal 'festnageln' ... ... sorry, wollte KEINE Doppelpost, leider zu spät gesehen, dass ich selbst zuletzt gepostet hatte da ich keine Postings mehr löschen kann, kann ich's nicht wieder ausmerzen . Edi, das Tier hat zugeschlagen und deinen Wunsch für dich erfüllt! :P Johko |
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30.04.2004, 23:03 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, ich hab noch nicht probiert, die Formel herzuleiten. Ich will aber vorher mal etwas fragen, damit ich weiß, ob ich es überhaupt schon herleiten kann. Reicht denn Kreisgeometrie (Flächenberechnung der Teile o.Ä.) aus, um diese Formel herzuleiten? Denn wenn man solch einen schräg liegenden Zylinder hat, und von oben darein guckt, so ist die Oberfläche der Flüssigkeit, die man da von oben sieht, doch eine Ellipse bzw. ein Ellipsenabschnitt (Ellipsensegment) (hängt davon ab, ob die Zylindergrundfläche völlig überdeckt wird oder nicht). Das stimmt doch erstmal???! Braucht man also zur Herleitung der Formel auch Berchnung von anderen ebenen geometrischen Figuren, wie z.B. der Ellipse, oder reicht die Kreisgeometrie? Danke für alle Antworten!!! |
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30.04.2004, 23:18 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
schräg liegender Zylinder Und ich verstehe eines nicht: Wenn Grundkreisradius und Höhe des Zylinders bekannt sind sowie der Neigungswinkel gegen die Horizontale, dann liegt doch die maximal mögliche Befüllung fest (damit's nicht überläuft). Wie kannst du da noch über die Füllhöhe verfügen? |
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30.04.2004, 23:40 | juergen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir hatten doch so eine Fragestellung vor kurzem im Rätselthread. |
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01.05.2004, 00:17 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Mathespezialschüler Du das ist schwierig zu beantworten .... eine Menge verschiedener Wege führen nach Rom. Die Frage war BEWUSST nicht ganz 'ernst' gemeint .... was aber Keine(n) davon abhalten braucht ... Ich denke es sind 3 verschiedene 'Phasen' wovon 2 gleich sind. Eine einfache 'Formel' solltest du NICHT erwarten .... Ob du sie ausrechnen kannst ?? Ich denke EHER nein ... was dich aber NICHT davon abhalten braucht dir mal Gedanken drum zu machen ... .... aaaaber eines solltest du wissen, das muss man NICHT können !! weiß ja selbst nicht ob ich es kann ... @Leopold da ist die Füllstandshöhe bei Teilfüllung gemeint .... ... unterstellt man könne diese durch den Zylindermantel hindurch messen bzw ermitteln. Da je nachdem 'wie man misst' verschiedene 'Höhen' sich ergeben kÖNNTEN, sollte die maximal dabei 'messbare' Höhe per Def die Füllhöhe sein. ETWAS ungeschickt und IMMER noch unklar von mir formuliert ... Nun anders: Die Füllhöhe ist genau das was man sich normalerweise auch darunter vorstellt, nämlich die Höhe die ein außen angebrachtes senkrecht stehendes Standrohr anzeigen würde wenn es zugleich auch jeden minimalsten Füllstand gerade noch zur Anzeige bringen könnte. . |
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01.05.2004, 06:51 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
schräg liegender Zylinder Ich habe mir das Folgende überlegt: Gegeben ein hohler, oben offener Zylinder vom Grundkreisradius r und der Höhe h. Der Zylinder wird um den Winkel alpha zur Horizontalen geneigt. Wieviel Flüssigkeit kann er dann maximal enthalten, so daß er nicht überläuft? Im Falle cot(alpha)<=h/(2r) habe ich die folgende Volumenformel gefunden: Für cot(alpha)=h/(2r) ist der Zylinder genau halbvoll. Für alpha=90° geht die Formel in die Zylinderformel über. Paßt das mit deinen Ergebnissen zusammen? |
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01.05.2004, 13:02 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: schräg liegender Zylinder Warum ist denn mit der Höhe h und dem Grundkreisradius r des Zylinders?? Muss es nicht die Höhe h sein, die man erhält, wenn man ein (gerades) Messgerät senkrecht auf den Boden stellt? Veilleicht kannst du das mal an einer Zeichnung verdeutlichen??! Dank dir! |
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01.05.2004, 14:32 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schau einmal in deinem E-Mail-Postkasten nach. |
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01.05.2004, 14:43 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, danke für die Lösung! Ich verstehe sie, wie du gesagt hast, natürlich nicht. Ich kanns ja trotzdem mal mit dem Satz des Cavalieri probieren, wenn ich Zeit finde. |
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01.05.2004, 14:44 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: schräg liegender Zylinder @Mathespezialschüler das grenzt die Gültigkeit der Formel auf einen bestimmten Bereich von a = 90° ... b>= c=arccot(...) ein und das hat einen ganz bestimmten Grund ... 90° ist der stehende Zylinder ... @Leopold ich muss erst mal umdenken, dieweil du was 'völlig' anderes berechnet hast als ich ... aber das macht nichts, weil sich das eh in verschiedene Phasen aufteilt, zwangsweise ... du hast das 'Kölschglas' ... ... |
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01.05.2004, 14:58 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: schräg liegender Zylinder Ja, danke Poff, ich habs verstanden. Ich hatte vorher nur das übersehen bei dem . @Leopold Deine Lösung trifft doch nur zu, wenn die ganze Grundfläche überdeckt wird!? Was ist, wenn der Winkel so klein ist oder so wenig Flüssigkeit im Zylinder vorhanden ist, dass man, wenn man reinguckt, einen Teil der Grundfläche sieht. Gilt deine Formel dann auch?? Wohl eher nicht, denn dann ist ja !!??? |
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01.05.2004, 15:02 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: schräg liegender Zylinder
GENAU das will er doch damit erreichen !!! mit dieser Einschränkung . |
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01.05.2004, 15:25 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: schräg liegender Zylinder Ja, das is mir auch klar geworden, aber dann haste ja keine Formel für ! |
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01.05.2004, 16:09 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: schräg liegender Zylinder
Jaa, passt zusammen. Habs jetzt nur mal an einem konkreten Spezialfall mit meinem überprüft, denn das bei dir oben ausgelaufene Volumen ist ja NUR passend zu dem bei mir, beim Auffüllen von unten, beim exakten Fluten der Grundfläche anfallenden Volumen. da passen beide Resultate zusammen. bei mir ist das jedoch nur Spezialfall, ... ich meine, ich hätte 'ein' gültiges Resultat für alle a mit cot(a)<=h/2r bzw Länge/2r also a > .... dies dann aber für den VOLLSTÄNDIGEN 'Füllablauf' eines AUCH oben geschlossenen Zylinders ... für den Fall cot(a)< Länge/2r fehlt mir noch was, das ich womöglich auch schon haben könnte, nur ist das noch nicht näher durchdacht bzw überprüft. obwohl diese 'Grenzstelle' mit der von dir zusammenfällt, deckt das meinige dabei jedoch was ganz anderes ab ... |
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01.05.2004, 17:13 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: schräg liegender Zylinder ---------------------------------------------Edit------------------------------------------------ Ich habs rauseditiert. Die Lösung war natürlich falsch. Ich hab nicht beachtet, dass du die Formel dafür willst, dass man den Zylinder so neigt, dass die Flüssigkeit so weit wie möglich am oberen Rand ist, aber trotzdem nicht rausfließt. Da muss es dann natürlich eine extra Formel sein. Danke für den Hinweis!!!!! |
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01.05.2004, 18:01 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: schräg liegender Zylinder Nein, das stimmt nicht, weil 'Leopolds' Auslaufmenge von der Menge verschieden ist, die sich bei gleicher Höhe an Luft einstellen würde, wäre der Zylinder geschlossen ... und dies entspräche einem 'Auffüllzustand' ... das zumindest bis zu einem bestimmten Punkt .... du kannst natürlich diese Restmenge berechnen, aber das bringt eigentlich nicht weiter .... und für cot(a)> ... dürfts schon garnicht simmen ... will aber mal etwas vorsichtig sein, hier schleicht sich derweil zuviel Durcheinander ein .... so dass mitunter alle von Verschiedenem reden ... musst schon ziemlich genau präzisieren, wenns keine 'Verwechslungen' nach sich ziehen soll ... |
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01.05.2004, 18:01 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei meiner "Kölsch"-Lösung habe ich auch den Fall cot(alpha)>h/(2r). Die Formel ist allerdings (im Moment noch) so lang, daß ich sie keinem zumuten will. |
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01.05.2004, 19:01 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dieser 'offene' Bereich von a=0° bis ..., der ist bei mir auch abgedeckt, NUR, für den geschlossenen Zylinderfall fehlt dann ein Teilstück ... Ich weiß nicht ob es sinnvoll ist hier nach simplen Formeln zu streben .... Du kannst es natürlich machen besonders wenn du was vor Augen siehst und es der Mühe wert erscheint vor allem wenn du's 'griffbereit' vor Augen siehst. Ich werde dieses Ziel NICHT anstreben. Mir genügt es wenn ich das Problem als solches im Griff hab, der Rest ist MIR egal, zumal mir das ja eh KEIN ernstes Anliegen war solch ein Ziel zu erreichen. Da das 'Kölschmodell' und das andere sich doch etwas unterscheiden, sollte immer dazugepackt werden obs sich nun darum oder darum dreht, um unötigen Missverständnissen vorzubeugen. . |
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01.05.2004, 20:13 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Volumen eines schräg liegenden Zylinders Es soll das maximale Flüssigkeitsvolumen eines oben offenen schräg stehenden Zylinders berechnet werden. Ich beziehe mich auf die Angaben der Figur unten. Das gesuchte Volumen ergibt sich als Differenz des gesamten Zylindervolumens und des Restvolumens links oben. Um dieses Restvolumen zu bestimmen, bilden wir Schnitte senkrecht zur Grundebene des Zylinders. Aus dem Restvolumen wird dabei ein Rechteck ausgeschnitten (linkes Bild, gestrichelte Linie) mit der Höhe und der Breite (rechtes Bild). Integration über diese Rechtecksflächen für x=0 bis x=2r liefert das gesuchte Restvolumen. Für das Integral substituiere ich x=r·(1+u), dx=r·du: In der Klammer ist das zweite Integral 0, weil der Integrand einen zum Ursprung punktsymmetrischen Graphen besitzt, das erste Integral berechnet aber den halben Einheitskreis. Also gilt: Also ist das gesuchte maximale Flüssigkeitsvolumen Das Ganze ist nur gültig für . Der Grenzfall tritt ein, wenn der Zylinder so geneigt ist, daß das maximale Flüssigkeitsvolumen gerade die Hälfte des Zylindervolumens ausmacht. Da eine relativ einfache Formel herauskommt, erscheint mir die ganze Rechnung etwas aufwendig. Gibt es einen (mehr oder weniger) elementar-geometrischen Zugang zu der Formel? |
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01.05.2004, 20:28 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Volumen eines schräg liegenden Zylinders @Leopold ... du bist schon eine 'Kanone' ich hoffe du verstehst das richtig ... |
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01.05.2004, 22:11 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Poff: Die ganze Zeit überlege ich mir, was du wohl mit der Kanone meinst. Jetzt weiß ich's: Mit der Kanone auf Spatzen geschossen! Immerhin hat mir das Nachdenken zur Lösung verholfen. Oh, es ist so peinlich! (alter Hase! erschwerende Umstände!) MITTELWERT! MITTELWERT! MITTELWERT! @Mathespezialschüler: MITTELWERT! MITTELWERT! MITTELWERT! |
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01.05.2004, 22:15 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmmm... ich versteh jetzt wirklich überhaupt nicht, was ihr beide meint!!!!!! |
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05.05.2004, 23:40 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Mathespezialschüler .... Was 'Leopold' sagen wollte ist in etwa .. : Wenn du dich nochmal hinsetzt, ORDENTLICHE Skizze machst, kräftig nachdenkst, kannst du seine Formel mit deinen Mitteln ebenfalls herleiten, |
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15.05.2004, 03:02 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beispiel Inhaltstabelle eines um Alpha gegen die Waagerechte schraeg liegenden 'geschlossenen' Zylinders (Alpha > .0005°) Alpha = 30° Radius = 100 mm Laenge = 500 mm Besondere verfahrenstechnische Schwellen tan(Alpha) = .5773502691896257 tan(Alpha)-2r/L = .1773502691896257 untere Schwelle = 173.2050807568877 obere Schwelle. = 250 max Fuellhoehe. = 423.2050807568877 Schrittweite = 10 .. 1 .. 0,1 .. 0,01 Fuellhoehe ..... Inhalt ............... Diff1 ........... Diff2 .. (mm) ........ (mm^3) .205080 .. .356406682537 .. .35640668 .. .35640668 10.2050 .. 6147.86594525 .. 6147.5095 .. 6147.1531 20.2050 .. 33474.7644226 .. 27326.898 .. 21179.388 30.2050 .. 90255.6617173 .. 56780.897 .. 29453.998 40.2050 .. 181969.333683 .. 91713.671 .. 34932.774 50.2050 .. 312597.306587 .. 130627.97 .. 38914.300 60.2050 .. 485067.075052 .. 172469.76 .. 41841.795 70.2050 .. 701467.363677 .. 216400.28 .. 43930.520 80.2050 .. 963165.893724 .. 261698.53 .. 45298.241 90.2050 .. 1270874.43436 .. 307708.54 .. 46010.010 100.205 .. 1624679.49336 .. 353805.05 .. 46096.518 110.205 .. 2024045.91221 .. 399366.41 .. 45561.359 120.205 .. 2467794.16143 .. 443748.24 .. 44381.830 130.205 .. 2954046.11724 .. 486251.95 .. 42503.706 140.205 .. 3480124.91853 .. 526078.80 .. 39826.845 150.205 .. 4042374.35843 .. 562249.43 .. 36170.638 160.205 .. 4635803.84796 .. 593429.48 .. 31180.049 160.205 .. 4635803.84796 .. 60565.484 .. 251.75989 ... Lupe Step 1 161.205 .. 4696612.69019 .. 60808.842 .. 243.35817 162.205 .. 4757656.06660 .. 61043.376 .. 234.53417 163.205 .. 4818924.68116 .. 61268.614 .. 225.23815 164.205 .. 4880408.70457 .. 61484.023 .. 215.40885 165.205 .. 4942097.69728 .. 61688.992 .. 204.96929 166.205 .. 5003980.51051 .. 61882.813 .. 193.82050 167.205 .. 5066045.15511 .. 62064.644 .. 181.83138 168.205 .. 5128278.62149 .. 62233.466 .. 168.82176 169.205 .. 5190666.61954 .. 62387.998 .. 154.53167 170.205 .. 5253193.17761 .. 62526.558 .. 138.56001 171.205 .. 5315839.95900 .. 62646.781 .. 120.22331 172.205 .. 5378584.88659 .. 62744.927 .. 98.146201 172.205 .. 5378584.88659 .. 6278.1583 .. .73369615 ... Lupe Step 0.1 172.305 .. 5384863.74469 .. 6278.8581 .. .69972955 172.405 .. 5391143.26678 .. 6279.5220 .. .66398175 172.505 .. 5397423.41501 .. 6280.1482 .. .62614651 172.605 .. 5403704.14906 .. 6280.7340 .. .58581739 172.705 .. 5409985.42555 .. 6281.2764 .. .54243459 172.805 .. 5416267.19722 .. 6281.7716 .. .49518857 172.905 .. 5422549.41172 .. 6282.2145 .. .44282730 173.005 .. 5428832.00944 .. 6282.5977 .. .38321220 173.105 .. 5435114.91918 .. 6282.9097 .. .31202843 173.105 .. 5435114.91918 .. 628.30260 .. .00232682 ... Lupe Step 0.01 173.115 .. 5435743.22400 .. 628.30482 .. .00221852 173.125 .. 5436371.53093 .. 628.30693 .. .00210463 173.135 .. 5436999.83985 .. 628.30891 .. .00198419 173.145 .. 5437628.15062 .. 628.31077 .. .00185591 173.155 .. 5438256.46311 .. 628.31248 .. .00171802 173.165 .. 5438884.77717 .. 628.31405 .. .00156797 173.175 .. 5439513.09263 .. 628.31545 .. .00140181 173.185 .. 5440141.40930 .. 628.31667 .. .00121279 173.195 .. 5440769.72696 .. 628.31765 .. .00098726 .. schöner 173.205 .. 5441398.04530 .. 628.31834 .. .00068419 .. Übergang 173.215 .. 5442026.36383 .. 628.31853 .. .00018777 173.225 .. 5442654.68236 .. 628.31853 .. 0 173.235 .. 5443283.00089 .. 628.31853 .. 0 173.245 .. 5443911.31942 .. 628.31853 .. 0 173.255 .. 5444539.63795 .. 628.31853 .. 0 173.265 .. 5445167.95648 .. 628.31853 .. 0 173.275 .. 5445796.27502 .. 628.31853 .. 0 173.285 .. 5446424.59355 .. 628.31853 .. 0 173.295 .. 5447052.91208 .. 628.31853 .. 0 .... "Cavalieri" - 173.305 .. 5447681.23061 .. 628.31853 .. 0 173.405 .. 5453964.41591 .. 6283.1853 .. 0 173.505 .. 5460247.60122 .. 6283.1853 .. 0 173.605 .. 5466530.78653 .. 6283.1853 .. 0 173.705 .. 5472813.97184 .. 6283.1853 .. 0 173.805 .. 5479097.15714 .. 6283.1853 .. 0 173.905 .. 5485380.34245 .. 6283.1853 .. 0 174.005 .. 5491663.52776 .. 6283.1853 .. 0 200.205 .. 7137858.07824 .. 628318.53 .. 0 210.205 .. 7766176.60896 .. 628318.53 .. 0 .... Phase 220.205 .. 8394495.13968 .. 628318.53 .. 0 230.205 .. 9022813.67039 .. 628318.53 .. 0 240.205 .. 9651132.20111 .. 628318.53 .. 0 249.935 .. 10262486.1314 .. 628.31853 .. 0 ............ Lupe Step 0.01 249.945 .. 10263114.4500 .. 628.31853 .. 0 249.955 .. 10263742.7685 .. 628.31853 .. 0 249.965 .. 10264371.0870 .. 628.31853 .. 0 249.975 .. 10264999.4056 .. 628.31853 .. 0 249.985 .. 10265627.7241 .. 628.31853 .. 0 249.995 .. 10266256.0426 .. 628.31853 .. 0 250.005 .. 10266884.3611 .. 628.31849 .. -.00003443 250.015 .. 10267512.6792 .. 628.31804 .. -.00045382 250.025 .. 10268140.9964 .. 628.31718 .. -.00085351 250.035 .. 10268769.3124 .. 628.31608 .. -.00110774 250.045 .. 10269397.6272 .. 628.31476 .. -.00131226 250.055 .. 10270025.9405 .. 628.31328 .. -.00148855 250.065 .. 10270654.2521 .. 628.31163 .. -.00164591 250.075 .. 10271282.5620 .. 628.30984 .. -.00178939 250.085 .. 10271910.8699 .. 628.30792 .. -.00192214 250.095 .. 10272539.1758 .. 628.30587 .. -.00204625 250.105 .. 10273167.4795 .. 628.30371 .. -.00216323 250.205 .. 10279450.3754 .. 628318.17 .. -.35640668 260.205 .. 10901621.3966 .. 622171.02 .. -6147.1531 270.205 .. 11502613.0288 .. 600991.63 .. -21179.388 280.205 .. 12074150.6622 .. 571537.63 .. -29453.998 290.205 .. 12610755.5210 .. 536604.85 .. -34932.774 300.205 .. 13108446.0788 .. 497690.55 .. -38914.300 310.205 .. 13564294.8410 .. 455848.76 .. -41841.795 320.205 .. 13976213.0831 .. 411918.24 .. -43930.520 330.205 .. 14342833.0838 .. 366620.00 .. -45298.241 340.205 .. 14663443.0739 .. 320609.99 .. -46010.010 350.205 .. 14937956.5456 .. 274513.47 .. -46096.518 360.205 .. 15166908.6575 .. 228952.11 .. -45561.359 370.205 .. 15351478.9390 .. 184570.28 .. -44381.830 380.205 .. 15493545.5139 .. 142066.57 .. -42503.706 390.205 .. 15595785.2433 .. 102239.72 .. -39826.845 400.205 .. 15661854.3341 .. 66069.090 .. -36170.638 410.205 .. 15696743.3753 .. 34889.041 .. -31180.049 420.205 .. 15707672.5764 .. 10929.201 .. -23959.840 420.205 .. 15707672.5764 .. 305.29500 .. -138.56001 ... Lupe Step 1 421.205 .. 15707857.6481 .. 185.07168 .. -120.22331 422.205 .. 15707944.5735 .. 86.925483 .. -98.146201 423.205 .. 15707963.2679 .. 18.694356 .. -68.231126 422.205 .. 15707944.5735 .. 5.0269316 .. -.73369616 ... Lupe Step 0.1 422.305 .. 15707948.9007 .. 4.3272021 .. -.69972955 422.405 .. 15707952.5640 .. 3.6632203 .. -.66398175 422.505 .. 15707955.6010 .. 3.0370738 .. -.62614651 422.605 .. 15707958.0523 .. 2.4512564 .. -.58581739 422.705 .. 15707959.9611 .. 1.9088218 .. -.54243459 422.805 .. 15707961.3748 .. 1.4136332 .. -.49518857 422.905 .. 15707962.3456 .. .97080598 .. -.44282731 423.005 .. 15707962.9331 .. .58759378 .. -.38321220 423.105 .. 15707963.2087 .. .27556534 .. -.31202843 423.105 .. 15707963.2087 .. .01592283 .. -.00232682 ... Lupe Step 0.01 423.115 .. 15707963.2224 .. .01370430 .. -.00221852 423.125 .. 15707963.2340 .. .01159967 .. -.00210463 423.135 .. 15707963.2436 .. .00961547 .. -.00198419 423.145 .. 15707963.2514 .. .00775956 .. -.00185591 423.155 .. 15707963.2574 .. .00604154 .. -.00171801 423.165 .. 15707963.2619 .. .00447356 .. -.00156798 423.175 .. 15707963.2650 .. .00307174 .. -.00140182 423.185 .. 15707963.2668 .. .00185894 .. -.00121279 423.195 .. 15707963.2677 .. .00087168 .. -.00098726 423.205 .. 15707963.2679 .. .00018727 .. -.00068441 voll Zentrale Rolle spielt dabei eine Formel, die das Füllvolumen des Zylinders im 'Bereich der Grundkreisspülung' errechnet. Die Formel selbst ist nicht 'sonderlich' komplex, aaber es müssen einige Fallunterscheidungen gemacht werden, was die Gesamt-Praktikabilität dann doch stark einschränkt. Aber sie existiert und das sogar in SIMPLER 'Programmform' Mit einem Bereich 5/10000° bis 90° deckt das Programm praktisch den ganzen Bereich vom waagerecht bis senkrecht ab ... . |
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16.05.2004, 16:19 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, ich hab mir auf Poffs Wunsch nochmal die Formel von Leopold angeguckt und versucht mit meinen Mitteln sie aus der Zeichnung herzuleiten. Das habe ich dann auch geschafft, ich poste die Herleitung mal: Erstmal eine Zeichnung http://server5.uploadit.org/files/Mathespeziler-Unbenannt1.JPG Also, der "obere Zylinder" hat das Volumen Der nichtgefüllte Teil ist die Hälfte dieses Zylinders. Das gesuchte Volumen ist dann die Differenz des gesamten Zylinders und der Hälfte des oberen Zylinders, also Für z gilt: In die Volumenformel eingesetzt: Ich versteh ja nicht ganz, warum diejenigen, die die Herleitung, die Leopold uns gezeigt hat, verfassten, das so kompliziert mit Integralrechnung gemacht haben, wenn es mit so einfachen Umformungen geht. Aber is ja auch egal. Eigentlich fehlt ja aber immernoch eine Formel für den Fall, dass Vielleicht habt ihr ja ne Idee. Ich kann auch nochmal was probieren. |
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16.05.2004, 19:53 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
------------------------------------------------------------Edit---------------------------------------------------------- Ich hab mal die falsche Lösung rauseditiert. Ich lass aber das Bild einfach mal hier. http://server5.uploadit.org/files/Mathespeziler-Unbenannt3.JPG |
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16.05.2004, 21:58 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier die 'Haupt-Formel', die im 'Verbund' mit Weiterem DIE obige Inhaltstabelle berechnet hat. . . . . . . . |
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16.05.2004, 22:12 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wie hast du die hergeleitet?? |
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16.05.2004, 22:37 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Mathespezialschüler ... mit deiner 2. Formel bist du übers Ziel hinausgeschossen, denk nochmal GENAU drüber nach .... ... hier mal ein Beispielswert der sich einstellen sollte: r=100 mm h(Länge) =500 mm alpha= 10° V= 2805770.96788 mm³ .. (bei einer internen Flüssigkeitshöhe von 86.8240888 mm) ich hoffe mal dass ich mich auf die Schnelle nicht vertan habe, werds nochmal checken ... |
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16.05.2004, 22:50 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist gar nicht die Hälfte, stimmts? |
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16.05.2004, 22:54 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
... das könnte hinkommen . . |
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16.05.2004, 23:02 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich editiers mal better raus. :P |
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18.05.2004, 02:10 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie's manchmal so geht, wenn man mit solch einem Unfug anfängt, hier das Ergebnis ... (nun wollt ich mal nicht nach sowas suchen ... :-/) Berechnung des Füllvolumens V eines teilgefüllten schräg liegenden 'geschlossenen' Zylinders bei gegebener Füllhöhe H (Standrohr) Die Maße des Zylindes sind: r= Radius der beiden Grundkreise, L= Länge des Zylinders (vertikal zum Grundkreis) a = Anstiegswinkel gegen die Horizontale. (0° = liegend) H = die am vertikalen Standrohr abgelesene Flüssigkeitshöhe. Es sind diverse Fallunterscheidungen zu treffen, dazu ist insbesondere zu ermitteln ... (Dies lässt sich kaum vermeiden, da völlig unterschiedliche Füllzustandsabläufe stattfinden.) tan(a) H1 = 2 r * cos(a) .............. (untere) Schwelle1 H2 = L * sin(a) .................. (obere) Schwelle2 Fall 1 ..... tan(a) >= (2 * Radius/ Länge) Zylinder liegt so 'steil', dass die Flüssigkeit jeweils nur EINEN Grundkreis TEILWEISE benetzen kann H < H1 . . . . ( Flüssigkeit noch im unteren Grundkreises ) dann ist V = Vgks(H) H1 <= H <= H2 . . . ( unterer Grundkreis ganz geflutet, elliptische Phase ) dann ist V = Pi*r^3*cot(a) + (H - H1)* r^2*Pi/sin(a) H > H2 . . . . . ( Flüssigkeit im Bereich des oberen Grundkreises ) dann ist V = Pi*r^2*L - Vgks(H1 + H2 - H) Fall 2 ...... 0 < tan(a) < (2 * Radius / Länge) Zylinder liegt so flach, dass die Flüssigkeit ZUGLEICH beide Grundkreise TEILWEISE benetzen kann H <= H2 . . . ( Flüssigkeit nur mit unterem Grundkeis in Kontakt ) dann ist V = Vgks(H) H2 < H < H1 . . . . ( Flüssigkeit berührt beide Grundkreise ) dann ist V = Vgks(H) - Vgks(H-H2) H >= H1 . . . . ( unterer Grundkreis voll geflutet ) dann ist V = Pi*r^2*L - Vgks(H1 + H2 - H) Vgks(X) wird dabei wie folgt berechnet : setze : u = X / (r*cos(a)) Vgks(X) = - r³/tan(a) *[(1-u)* arccos(1-u) - sqrt(2u-u²) + 1/3 sqrt((2u-u²)³)] . . . |
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04.07.2005, 10:42 | JfK | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, habe den thread mit großer Aufmerksamkeit gelesen, brauche so eine Volumenberechnung nämlich gerade für meine Diplomarbeit. Frage: Gibt es da irgendwelche "offizielle" Literatur/ Uni-Websites, in denen diese Problematik erörtert wird? Macht sich besser als Quellenangabe :-) |
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10.07.2005, 03:03 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
welch Wunder, dass das wer braucht, außer mir ... Hallo, ob du dazu im Netz was findest kann ich dir nicht sagen, zu dem hier, sicherlich nicht, denn das ist komplettes Eigengewirke. Zur besseren Übersicht hab ich oben bei der Formelpost, eine SKIZZE angehängt, welche die unterschiedlichen Abläufe etwas veranschaulicht. Dabei stellt der FALL 2 das dar, was man üblicherweise in der Praxis, unter einem schräg liegenden Zylinder versteht. FALL 1 ist eher mit schräg stehendem Zylinder richtig beschrieben . |
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13.07.2005, 11:30 | JfK | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Herleitung?? Hallo, besten Dank für die Antwort. Bisher habe ich wirklich noch keine weitere Literatur/Websites gefunden die sich damit befassen. Daher folgende Frage: Hast Du evtl. sowas wie eine Herleitung zu dem Formelzusammenhang? Für mich wäre hauptsächlich Fall 2, H<=H2 (bzw. in meinem Fall H=H2) und evtl. noch H2<H<H1 interessant. Das würd mir auch schon helfen, denn damit könnt ich ja belegen, dass die Formel stimmt. Mir fehlt leider Zeit + Wissen + Übung, um die Herleitung zu machen. |
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16.07.2005, 22:00 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, einen schönen, vereinfachenden EndWert für h = H2 kannst nicht erwarten, sollte klar sein warum. Da bleibt nur das Einsetzen in die Formel selbst, oder ein spezieller numerischer Wert eben. Schöne Werte gibts für h = 1/4*H1, 1/2*H1, 3/4*H1, H1 sofern die jeweiligen Höhen unterhalb H2 liegen (im Fall1 immer erfüllt, in deinem eher nicht). dann ist: Die Formel ist keine Näherungslösung sondern die exakte Lösung, mehrfach quergeprüft gegen mindestens 3 verschiedene Ansätze mit 'unterschiedlichen allgebraischen' Resultaten. Dabei völlige numerische Übereinstimmung, trotz 'unterschiedlicher allgebraischer' Formen. Die Formel stimmt, belegt sich selbst, weil sie nicht widerlegt werden kann ... . |
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14.08.2005, 16:07 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lässt man komplexe Funktionswerte zu und betrachtet deren reelle Projektion als das Volumen, dann lässt sich, zumindest formal, nochmal gut vereinfachen. So gibts KEINE verschiedenen Fälle, Lagen und Winkel mehr zu betrachten. Für das Volumen V(h) eines entsprechenden Zylinders gilt dann, UNABHÄNGIG von Lage usw. 0 < alpha <90° dabei ist mit u:= x / (r*cos(a)) |
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