konvergenz des newton-verfahrens

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wanoek Auf diesen Beitrag antworten »
konvergenz des newton-verfahrens
hey leute,

ich habe ein paar verständnisprobleme bei folgender aufgabe.

man soll untersuchen wann das newton-verfahren für die funktion mit , und konvergiert.

betrachten wir erstmal ... hier versteh ich nicht ganz wann das verfahren gegen die nullstelle nicht konvergieren soll, wird ja größer 0 angenommen, dementsprechend müsste es doch immer gegen die nullstelle bzw. gegen die positive nullstelle (für n gerade) laufen ...

weiterhin versteh ich die konvergenzkriterien nicht, wie wende ich die an ? wie wähle ich sinnvol mein startwert ? wann ist dieser nicht mehr sinnvoll ?
wanoek Auf diesen Beitrag antworten »

will mir keiner weiterhelfen ? hab ich was falsch gemacht ? Forum Kloppe
meeee Auf diesen Beitrag antworten »

Als Tipp noch das hier: Passt auf, hier steht n aus Z... Fallunterscheidung...
Es reicht eine Umgebung um die Nullstelle anzugeben, wo es
konvergiert...
(versucht nicht wirklich alle Punkte zu finden!!! Augenzwinkern )

Zu den Konvergenzkriterien schau mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzkriterien

Hab mich selbst noch nicht mit beschäftigt...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, falsch gemacht hast du sicher nichts, es gibt halt im Moment keinen Wissenden ..., du solltest noch Geduld haben. Was ich dir sagen kann, ist, dass du hier im Board mal suchen kannst, es gibt sehr viele Beiträge gerade über das Newtonverfahren.

Hinweis:
Als Startwerte kommen grundsätzlich Stellen in Frage, die zwischen zwei x-Werten mit Vorzeichenwechsel des Funktionswertes liegen.

mY+
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wanoek
will mir keiner weiterhelfen ? hab ich was falsch gemacht ? Forum Kloppe



Ein bisschen Geduld. Vielleicht waren die Helfer im Schwimmbad? Big Laugh Die Lösungen des Nullstellenproblems kennen wir ja, es sind die n-ten Wurzeln.



Dieses klassische Beispiel dürfte auch schon oft "verdeutlicht" worden sein.

Zitat:
Original von tigerbine
Die n-te Wurzel einer reellen Zahl a > 0 ist eine Nullstelle der Funktion




Eine kleine Kurvendiskussion, zeigt, dass es für gerades n zwei Lösungen (symmetrisch zu 0) und ungerades n eine Lösungen in den reellen Zahlen gibt. Gesucht ist die nichtnegative Lösung.




Das Newton-Verfahren zur Berechnung von lautet:




Man sieht, dass das Verfahren nicht für definiert ist. Da eine nichtnegative Zahl gesucht ist, wählt man als Startwert ein


Da es sich um eine einfache Nullstelle einer mind. einmal stetig differenzierbaren Funktion handelt, konvergiert das Verfahren, wenn man den Startwert nur nahe genug bei x* wählt. (Beweis)



Hier liegt der Fall sogar noch deutlich besser:

Das Verfahren konvergiert für jeden Startwert gegen x*.


Beweis:



  • Somit sind alle Iterierten größer 0. Weiter ist die Abbildung

  • Die Funktion



    ist strikt konvex (linksgekrümmt), denn für die zweite Ableitung gilt:




  • Es ist desweiteren





  • Somit besitzt die Funktion genau ein Minimum (an der Stelle x*), denn







Auf Grund des Kurvenverlaufs gilt also für k=0,1,..,









Somit folgt die Abschätzung:




Lehrer Welche man für ein Abbruchkriterium verwenden kann:



wanoek Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die antwort ... hatte zwar hier nach newton gesucht aber nicht wirklich fundig geworden ...
 
 
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