Singularitäten - Ich blicke da nicht mehr durch! Hilfe

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28.05.2008, 15:28	DigitalFotograf	Auf diesen Beitrag antworten »
Singularitäten - Ich blicke da nicht mehr durch! Hilfe Hallo, ich soll die Singularitäten der folgenden Funktion bestimmen. $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{1 - cos(z)}{z^{3}} \end{eqnarray}$ Nun war mein Ansatz der Folgende: - Laurententwicklung mit Reihendarstellung des cosinus: $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{1 - \sum_{k=0}^{\infty}~{\frac{(-1)^{k}}{(2k)!} z^{2k} }}{z^{3}} \end{eqnarray}$ was umgeformt diese reihe hier ist: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}~{\frac{(-1)^{k+1}}{(2k)!} * z^{2k-3} } \end{eqnarray*}$ tja und jetzt bin ich mit meinem latein am Ende Wie zum henker komme ich nun auf die Singularität und deren Typ. Freue mich über Tipps! Grüße
28.05.2008, 15:51	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Was kennst du denn für singularitäten, und wie sind diese definiert?
28.05.2008, 16:00	DigitalFotograf	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja, ich kenne wesentliche, hebbare und Polstellen. Die definitionen stehen in meinem Skript, angeblich abzulesen am Hauptteil...doch kann ich mich nicht entscheiden ob das was ich da hab ein Hauptteil ist oder nicht...ausserdem verwirrt mich der seltsame koeffizient und irgendwie blick ich da garnicht durch! Kannst du mir einen Anstoss geben? Ich glaube mir fehlt echt nur ein Stups in die richtige Richtung!
28.05.2008, 16:15	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wenn du das ganze mit z^3 multiplizierst, kommt eine stetige Funktion raus. Es kann sich somit schlimmstenfalls um eine Polstelle 3. Ordnung handeln. Die Idee mit der Reihenentwicklung war schon die richtige, und du hast dich auch nicht verrechnet. Wie gesagt, schlimmstenfalls ist es eine Polstelle der Ordnung 3. Die entscheidende Frage bei Polstellen ist immer: mit welcher Potenz von z (bzw. z-z_0, aber hier geht es ja um den Nullpunkt) muß man das ganze multiplizieren, damit eine stetige Funktion (bzw. genaugenommen: eine Funktion mit einer hebbaren Singularität) rauskommt? Im Zähler heben sich das Absolutglied von der Cosinusreihe und die 1 raus, und die Cosinusreihe hat auch keinen Term der Ordnung z^1. Also geht der Zähler überhaupt erst bei den Potenzen ab z^2 los. Es reicht also schon aus, f(z) mit z^1 zu multiplizieren, also ist das ganze eine Polstelle der Ordnung 1.
28.05.2008, 16:28	DigitalFotograph	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal für deine Ausführliche erklärung, leider stehe ich noch immer auf dem Schlauch. Kann ich an der Laurentreihe ablesen dass es eine Polstelle der ordnung 1 ist? Und wie hätte ich es besser machen können damit ich das rechnerisch ablesen kann? Vielen Lieben dank nochmal
28.05.2008, 16:40	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Weg war genau der richtige (auch wenn man es mit etwas Erfahrung dann eher so macht, wie ich das verbal beschrieben habe). Du hast doch die Laurentreihe shcon ausgerechnet, schreib dir doch einfach mal die ersten Terme der Summe einzeln hin.
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28.05.2008, 17:53	DigitalFotograph	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, es schaut nun so aus: Erste Terme $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{1}{2} z^{-1} - (\frac{1}{24} * z) + [...] \end{eqnarray*}$ Sagt mir die -1 dass es sich um einen Pol der Ordnung 1 handelt? Gilt das allgemein oder ist das nur zufällig so?
28.05.2008, 18:15	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, schau doch nochmal in deine Definition von Polstellen. Alles, was keinen positiven Exponenten hat, gehört zum Hauptteil der Laurent-Reihe, und der kleinste Exponent dieses Hauptteils ist die Ordnung.
28.05.2008, 18:39	DigitalFotograph	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es zwar verstanden kann es aber nicht auf andere Aufgaben übertragen fürchte ich. Nehmen wir mal als Beispiel $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{cos(z)}{z^{33}+1} \end{eqnarray}$ da haben wir ja nicht nur eine Singularität, sondern weit über 20 Heisst das in etwa ich muss jetzt um jede dieser Singularitäten eine Laurent Reihe bauen? Ein bisschen viel abreit oder? Ich hoffe mit einem kleinen Tipp bringt ihr mich auf den richtigen Pfad, sonst werd ich wohl oder übel für alle der weit über 20 Singularitäten eine Laurentreihe machen
28.05.2008, 18:51	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip schon, aber du kannst die Fälle alle gleichzeitig erschlagen. Ich will dir nicht alles abnehmen, deswegen mal ein anderes Beispiel: Würde dir denn zu $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{1}{z^2-1} \end{eqnarray}$ etwas einfallen?
28.05.2008, 19:05	DigitalFotograph	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja da würde ich einfach die Geometrische Reihe ableiten und das dann als Laurentreihe darstellen. Hab ich auch schon probiert Aber $\begin{eqnarray} \frac{d}{d^{33}z} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$ sieht jetzt auch nicht unbedingt schick aus aber ich fühle ich habs gleich, vielleicht hast du noch einen kleinen tipp!
28.05.2008, 19:07	DigitalFotograph	Auf diesen Beitrag antworten »
moment das würde nicht gehen, jetzt bin ich aber ratlos Aber ich würde das ^2 beispiel mit der geometrischen reihe lösen, mit z^33 schaut das aber alles ein bisschen ähm ja ... "komisch" aus
28.05.2008, 19:33	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, also die Stellen wo was schiefgehen kann sind ja nur die Nullstellen des Nenners, an allen anderen Stellen handelt es sich um eine stetige Funktion. Deswegen ist es erstmal eine gute Idee, die Nullstellen zu bestimmen, hier sind das z=-1 und z=1. Du hast also $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{1}{(z+1)(z-1)} \end{eqnarray}$ . Nehmen wir an, du willst wissen, was für eine Singularität an der Stelle -1 vorliegt. Jetzt kannst du langwierig die Laurentreihe bestimmen über die geometrische Reihe. Genauso funktioniert es, sich zu fragen, mit welcher Potenz von (z+1) mußt du f(z) multiplizieren, damit etwas stetiges rauskommt? Und jetzt dasselbe für deine Funktion. Bist du dir eigentlich sicher, daß da ein Plus im Nenner steht, und kein Minus? Dann wäre das ganze nämlich viel angenehmer.
28.05.2008, 19:40	Digitalfotograph	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Nenner steht schon ein Plus. Aber verstehe ich das richtig dass ich die Singularitäten einfach über die Nullstellen löse? Oder meinst du die Nullstellen des Nenners ... aber da gibt es schon ziemlich viele?!? Ich bin die ganze Zeit am grübeln aber bekomme den entscheidenden Gedanken nicht hin :'(
28.05.2008, 19:47	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
In erster Näherung erstmal ja, es geht um die Nullstellen des Nenners. Daß das aber nur die halbe Wahrheit ist, siehst du an dem ersten Beispiel ganz vom Anfang. Da hat der Zähler nämlich an der entscheidenden Stelle ebenfalls eine Nullstelle, und somit verringert sich die Ordnung der Polstelle. Genauer ist die ORdung der Polstelle = Grad der Nullstelle des Nenners/Grad der Nullstelle des Zählers. Und eben wegen der Nullstellen habe ich gefragt, ob da ein Schreibfehler vorliegt. Bei z^33-1 währen das die 33ten Einheitswurzeln gewesen, da kann man sich schön was drunter vorstellen, kann sie hinschreiben usw. Wobei man ncoh nicht mal wissen muß, wo sie wirklcih liegen, es reicht das wissen, daß die Gleichung 33 Lösungen hat die paarweise verschieden sind. Das bestimmen der Nullstellen von z^33+1 dagegen ist gelinde gesagt eine bescheidene Arbeit, vor allem der Nachweis, daß diese paarweise verschieden sind.

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