Laplacetransformation

28.05.2008, 14:56

lonesome-dreamer

Laplacetransformation

Hi,
es soll die Originalfunktion $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \mathcal L \left\{f \right\}(s)=\frac{s}{s^2+4}+\frac{e^{-\pi s}}{s(s^2+4)}-\frac{e^{- 2 \pi s}}{s(s^2+4)} \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.

Nun habe ich schon $\begin{eqnarray*} \frac{s}{s^2+4}=\mathcal L \left\{\cos(2t)\right\}(s) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\left(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+4}\right)=\frac{1}{4}\mathcal L\left\{1-\cos(2t)\right\}(s) \end{eqnarray*}$ berechnet.

Daraufhin habe ich die Verschiebungsregel angewendet, wobei $\begin{eqnarray*} \sigma(t) \end{eqnarray*}$ den Einheitssprung bezeichnet:
$\begin{eqnarray*} \mathcal L\left\{f\right\}(s)=\mathcal L\left\{\cos(2t)+\frac{1}{4}(1-\cos(2(t-\pi)))\sigma(t-\pi)-\frac{1}{4}(1-\cos(2(t-2\pi)))\sigma(t-2\pi)\right\}(s) \end{eqnarray*}$

Das stimmt aber leider nicht mit der Musterlösung überein.
Die lautet nämlich wie folgt:
$\begin{eqnarray*} \mathcal L\left\{f\right\}(s)=\mathcal L\left\{\cos(2t)+\frac{1}{4}(1-\cos(2(t-\pi)))\sigma(t-\pi)-\frac{1}{4}(1-\cos(2(t-\pi)))\sigma(t-\pi)\right\}(s) \end{eqnarray*}$
Dann wurde $\begin{eqnarray*} \cos(2(t-\pi))=\cos(2t) \end{eqnarray*}$ gesetzt und zu
$\begin{eqnarray*} \mathcal L\left\{f\right\}(s)=\mathcal L\left\{\cos(2t)+\frac{1}{4}(1-\cos(2t))(\sigma(t-\pi)-\sigma(t-2\pi))\right\}(s) \end{eqnarray*}$ vereinfacht.

Nun habe ich dazu 2 Fragen:
1. Warum wurde $\begin{eqnarray*} \frac{e^{- 2 \pi s}}{s(s^2+4)} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(1-\cos(2(t-\pi)))\sigma(t-2 \pi) \end{eqnarray*}$ umgeschrieben? Im Argument vom Cosinus müssen doch auch $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ stehen, wenn man die Verschiebungsregel anwendet, oder nicht?

2. Warum wurde $\begin{eqnarray*} \cos(2(t-\pi))=\cos(2t) \end{eqnarray*}$ gesetzt?

Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.

Gruß
Natalie

28.05.2008, 14:59

Dual Space

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RE: Laplacetransformation

Zitat:

Original von lonesome-dreamer
2. Warum wurde $\begin{eqnarray*} \cos(2(t-\pi))=\cos(2t) \end{eqnarray*}$ gesetzt?

Weil das nun mal so ist. Es gilt immer

$\begin{eqnarray*} \cos(x+2\pi)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

weil die Kosinus-Funktion periodisch mit Periodenlänge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ist.

28.05.2008, 15:11

lonesome-dreamer

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Hi,
vielen Dank für die schnelle Antwort. smile

Da hatte ich ja echt ein dickes Brett vorm Kopf.

Somit ist auch meine erste Frage geklärt, weil $\begin{eqnarray*} \cos(2(t-2 \pi)) \end{eqnarray*}$ dann ja auch $\begin{eqnarray*} \cos(2t) \end{eqnarray*}$ ist.

Danke nochmals.

Gruß
Natalie

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