Bester erwartungstreuer Schätzer

28.05.2008, 19:54

TomL

Bester erwartungstreuer Schätzer

Hab bei folgender Aufgabe Probleme:

Sei $\begin{eqnarray*} Y+m \end{eqnarray*}$ der Gesamtumfang der Stichprobe.

Sei $\begin{eqnarray*} P(Y = i) = \binom{m+i-1}{m-1} p^m (1-p)^i \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} i = 0,1,2,... \end{eqnarray*}$ ) mit $\begin{eqnarray*} E(Y) = \frac{m(1-p)}{p} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var(Y) = \frac{m(1-p)}{p^2} \end{eqnarray*}$ . (Negativ Binomialverteilung).
Wir gehen nun davon aus, dass zur Schätzung von $\begin{eqnarray*} 0<p<1 \end{eqnarray*}$ die Beobachtung von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ausreicht, d.h. wir reduzieren die gesamte Stichprobe auf eine Stichprobe vom Umfang $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} \tau = \frac{Y+m}{m} \end{eqnarray*}$ der gleichmäßig beste erwartungstreue Schätzer für $\begin{eqnarray*} 1/p \end{eqnarray*}$ ist.

Die Erwartungstreue ist kein Problem. Aber ich muss ja noch zeigen, dass die Varianz von jedem erwartungstreuen Schätzer $\begin{eqnarray*} \leq Var(\tau) \end{eqnarray*}$ ist.
Oder kann man hier mit der Exponentialfamilie arbeiten. Habs aber nicht hinbekommen.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

28.05.2008, 21:22

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RE: Bester erwartungstreuer Schätzer

Zitat:

Original von TomL
Sei $\begin{eqnarray*} Y+m \end{eqnarray*}$ der Gesamtumfang der Stichprobe.

Ich komm schon hier nicht ganz mit: $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist eine Zufallsgröße ja? Du nimmst also eine Stichprobe von zufälligen Umfang $\begin{eqnarray*} n=Y+m \end{eqnarray*}$ mit zufälligem $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ und festem $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

Dann aber dies:

Zitat:

Original von TomL
Wir gehen nun davon aus, dass zur Schätzung von $\begin{eqnarray*} 0<p<1 \end{eqnarray*}$ die Beobachtung von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ausreicht, d.h. wir reduzieren die gesamte Stichprobe auf eine Stichprobe vom Umfang $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Eine Stichprobe vom Umfang $\begin{eqnarray*} Y+m \end{eqnarray*}$ , von der $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ für irgendwas ausreicht??? Was jetzt, ein Beobachtungswert $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ Beobachtungswerte, d.h. Anzahl $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ...

Alles irgendwie unklar formuliert. unglücklich

28.05.2008, 22:22

TomL

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Also $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ soll eine Zufallsgröße sein, und
wir sollen jetzt davon von ausgehen, dass wir eine Stichprobe mit Umfang 1 haben. $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ soll eine Beobachtung sein.

29.05.2008, 10:46

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Wenn das so ist, dann blende ich mal den ersten Satz deiner Aufgabenstellung als völlig vergurkt aus. Augenzwinkern

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Du hast also einen einzigen Wert $\begin{eqnarray*} Y\sim NB(m,p) \end{eqnarray*}$ vorliegen und sollst den gleichmäßig besten erwartungstreuen Schätzer von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ finden.

Zitat:

Original von TomL
Aber ich muss ja noch zeigen, dass die Varianz von jedem erwartungstreuen Schätzer $\begin{eqnarray*} \leq Var(\tau) \end{eqnarray*}$ ist.

Du meinst hier natürlich $\begin{eqnarray*} \geq Var(\tau) \end{eqnarray*}$ , d.h., alle anderen erwartungstreuen Schätzer sind höchstens so gut (also so genau) wie dein $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ .

Ich kenne in dem Zusammenhang nur die Cramér-Rao-Ungleichung, hast du es mit der schon mal probiert?

EDIT: Ich hab's grad mal durchexerziert - Cramér-Rao klappt hier hervorragend. Augenzwinkern

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