Alle Du auf Gerade

10.02.2006, 18:18

aRo

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Alle Du auf Gerade

Hallo!

Für alle u € R ist der Punkt $\begin{eqnarray*} D_u(4|-2u|u-6) \end{eqnarray*}$ gegeben.
1. Zeige, dass alle Du auf einer Geraden h liegen.

Wie würdet ihr das machen? Einfach für u zwei Werte wählen, h bauen und dann Du einsetzen?
Oder gäbs da noch ne geschicktere, irgendwie schönere, Lösungsstrategie?

aRo

10.02.2006, 18:22

riwe

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RE: Alle Du auf Gerade
stelle die gerade durch 2 dus auf und setze dann das allgemeeine du ein.
werner
oder
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 4\\ -2u \\ u-6 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ -2(u_1-u) \\u_1-u \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\ -2u \\ u-6 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.02.2006, 18:24

aRo

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edit: Wenn ich D0 und D3 wähle funktioniert das gar nicht...^^

also im Prinzip so, wie ichs geschrieben habe, ne?

Okay, dann mach ich das auch so smile

smile

aRo

10.02.2006, 18:29

riwe

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@aro, entschuldige,
hatte deinen post nicht genau genug gelesen.
siehe alternative, ist aber eigentlich dasselbe
werner

10.02.2006, 18:33

aRo

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kein problem.

Aber schau mal:
$\begin{eqnarray*} D_0(4|0|-6) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_3(4|-6|-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}+r \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt Du einsetze, bekomme ich raus, dass u=1 sein muss....^^

und wenn ich so rechne wie du:

$\begin{eqnarray*} h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2u_1 \\ u_1-6 \end{pmatrix}+r \begin{pmatrix} 0 \\ -2u_2 + 2u_1 \\ u_2 - u_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da kann ich doch nicht einfach davon ausgehen, dass u1 = u2 ist.

aRo

10.02.2006, 18:40

riwe

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da hast dich verrechnet
4 = 4
-2r = -2u
daraus in (3)
-6 +u = u - 6
hurra!
werner
und bei weg 2 ersparst du dir das einsetzen

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10.02.2006, 18:44

aRo

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ups

LOL Hammer

aber beim zweiten weg...versteh erstens gar nciht, wie du da an ein a komsmt und zweitens nicht, wieso du u1 und u2 einfach als "gleichwertig" betrachtest.

noch eine Aufgabe aus dem Zusammenhang:
D0 und D3 sind benachbarte Eckpunkte eines Rechtecks. Die beiden anderen Eckpunkte liegen auf einer Ursprungsgeraden. Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.

Ich hab ca $\begin{eqnarray*} 44.9 \end{eqnarray*}$ raus. Wär cool, wenn das jmd. bestätigen könnte! smile

smile

aRo

10.02.2006, 19:47

riwe

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44.9... habe ich auch raus.

a ist tipp- und dann kopierfehler, habe es korrigiert.

ich nehme ein belieniges u und ein beliebiges u1, und erhalte einen von u und u1 unabhängigen richtunsvektor. und da u beliebig => alle dus liegen auf einer geraden.
denke ich zumindest
werner

10.02.2006, 19:56

Calvin

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RE: Alle Du auf Gerade
Mag sein, dass ich irgendwo einen Denkfehler habe, aber warum denn so kompliziert?

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ -2u \\ u-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 \\ -2u \\ u\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -6\end{pmatrix}+u\cdot \begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist doch eine Gerade verwirrt

verwirrt

10.02.2006, 20:09

riwe

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RE: Alle Du auf Gerade
schaut gut aus
werner

10.02.2006, 20:52

aRo

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ok, danke!

letzte aufgabe (bitte wieder ergebnis kontrolle, bin mir nicht 100% sicher):

Gegeben ist ein Dreieck OPQ mit $\begin{eqnarray*} \vec{a} =\vec{0P} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} =\vec{0Q} \end{eqnarray*}$ . Im Koordinatensystem (0, $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ ) hat ein Punkt X die Koordinaten x1 und x2.
1. Welche Beziehung besteht zwischen x1 und x2, wenn x auf der Geraden durch P und Q liegt?
2. Welche Bed. muß erfüllt sein, damit $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ auf der Strecke PQ liegt?
3. Welche Bedingungen müssen für x1 und x2 erfüllt sein, damit x außerhalb des Dreieckes 0PQ liegt?

1. $\begin{eqnarray*} x_1 = 1 - x_2 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} x_2 = -x_1 \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} x_1+x_2 > 1 \end{eqnarray*}$

bei der 3 steht ja was von BedingungEN....hmm..
naja, ich hoffe einer macht sich die Mühe, und rechnet es auch mal druch smile

smile

aRo

10.02.2006, 21:43

sqrt(2)

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2. ist falsch, denn es widerspricht 1. (2. sollte eigentlich eine stärkere Bedingung als 1. sein, die ihr nicht widerspricht.) Was 3. angeht: Es geht auch in die andere Richtung...

10.02.2006, 21:50

aRo

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2. $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$
(hatte mich verrechnet)
3. nach hinzufügen $\begin{eqnarray*} x_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ ?

aRo

10.02.2006, 21:55

sqrt(2)

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Zitat:

Original von aRo
2. $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

Die widerspricht 1. auch und gilt z.B. auch für $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , das für von $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ verschiedene $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ bestimmt nicht auf der Strecke $\begin{eqnarray*} \overline{PQ} \end{eqnarray*}$ liegt.

Zitat:

Original von aRo
3. nach hinzufügen $\begin{eqnarray*} x_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ ?

Nach hinzufügen was? Mache dir bewusst, was bei negativen $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ist.

10.02.2006, 21:59

aRo

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hast recht...
hmmm...ich zeig dir mal, wie ich die 2. berechne:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = x_1\vec{a} +x_2\vec{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{PQ} = -\vec{a} +\vec{b} \end{eqnarray*}$
gleichsetzen ergibt:
$\begin{eqnarray*} \vec{a}(-1-x_1)+ \vec{b}(1-x_2) = 0 \end{eqnarray*}$
da die Vektoren l.u. sind, gilt:
$\begin{eqnarray*} -1-x_1 = 0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} 1-x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
folgt:
$\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

hmm....

bei der 3. habe ich mich verschrieben: nach = noch.

Also dann:
$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 > 1 \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} x_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} x_2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

aRo

10.02.2006, 22:11

sqrt(2)

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Zitat:

Original von aRo
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = x_1\vec{a} +x_2\vec{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{PQ} = -\vec{a} +\vec{b} \end{eqnarray*}$
gleichsetzen ergibt:

Du kannst nicht gleichsetzen, denn $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ ist ein Ortsvektor und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ} \end{eqnarray*}$ ist ein Verbindungsvektor zwischen $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ . Überlege dir, was du zu 1. hinzufügen musst, damit nur die Strecke statt der ganzen Gerade die Bedingung erfüllt.

Zitat:

Original von aRo
$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 > 1 \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} x_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} x_2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Du musst jetzt noch die Fälle $\begin{eqnarray*} x_1<0~\vee~x_2<0 \end{eqnarray*}$ behandeln.

10.02.2006, 22:28

aRo

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hmm...

verwirrt

bei der eins habe ich mit $\begin{eqnarray*} g_{PQ} = \vec{a} +r*(\vec{a}-\vec{b}) \end{eqnarray*}$ gerechnet. Eigentlich müsste ja r irgendwie 1 sein. aber dann kommt quatsch raus.
Also da komme ich leider so nicht weiter unglücklich

unglücklich

edit: vielleicht muss ich hier $\begin{eqnarray*} x_1 >0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x_2 > 0 \end{eqnarray*}$ noch als bedingung setzen? wenn ja - wie würde ich das rechnerisch bestimmen?

zu 3.
wieso sollte denn zB $\begin{eqnarray*} x_1 < 0 \end{eqnarray*}$ sein dürfen? dann liegt das doch nie im Dreieck? Da kann ich doch dann an $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ rumdrehen wie ich will. Versteh ich also leider auch nicht traurig

traurig

edit: hmm... verwirrt

verwirrt

naja, es geht vielleicht schon, wenn ich mir meine vektoren anders aufzeichne Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber dann wüsst ich keine Bedinung...hmm...denn a und b können ja total unterschiedlich lang sein.

hänge also leider fest.

aRo

11.02.2006, 09:31

riwe

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Zitat:

Original von aRo
hmm... verwirrt

verwirrt

zu 3.
wieso sollte denn zB $\begin{eqnarray*} x_1 < 0 \end{eqnarray*}$ sein dürfen? dann liegt das doch nie im Dreieck? Da kann ich doch dann an $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$
hänge also leider fest.

aRo

3. Welche Bedingungen müssen für x1 und x2 erfüllt sein, damit x außerhalb des Dreieckes 0PQ liegt?
das ist doch genau der sinn der übung, oder?

vorschlag: $\begin{eqnarray*} (x_1+x_2>1) \vee (x_1<0) \vee (x_2<0) \end{eqnarray*}$ ??

2. Welche Bed. muß erfüllt sein, damit $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ auf der Strecke PQ liegt?
was bedeutet das überhaupt? soll die spitze des vektors auf PQ liegen, oder der vektor selbst, aber den kann ich doch beliebig herumschubsen?
werner

11.02.2006, 10:12

aRo

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ups, ja, da habe ich vergkehrt herum gedacht. also die drei würde ich genau so wie du machen.
die 2.:
ich denke mal die Spitze des Vektors, als der Ortsvektor des Punktes X.

aRo

11.02.2006, 10:37

sqrt(2)

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Zitat:

Original von aRo
bei der eins habe ich mit $\begin{eqnarray*} g_{PQ} = \vec{a} +r*(\vec{a}-\vec{b}) \end{eqnarray*}$ gerechnet.

Anders geschrieben $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\overrightarrow{OP}+r\overrightarrow{QP} \end{eqnarray*}$ . Überlege dir, was $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ nur sein darf, damit $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ alle Punkte zwischen $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ bezeichnet ( $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ gehört nicht dazu...).

11.02.2006, 10:49

aRo

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$\begin{eqnarray*} -1 \leq r \leq 0 \end{eqnarray*}$ ?

wenn ja - komme ich dennoch nicht weiter... unglücklich

unglücklich

edit: oder ist das jetzt schon die gesuchte Bedingung?
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{a} + r{\vec{a}-\vec{b}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -1 \leq r \leq 0 \end{eqnarray*}$ und damit die Aufgabe gelöst?

11.02.2006, 10:59

sqrt(2)

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Ich denke, du hast vorher so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}&=&\vec{a}+r(\vec{a}-\vec{b})\\\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+r\left(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right)\\&=&\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rcll}\Ra x_1&=&1+r&(*)\\x_2&=&-r&(*)\\\Ra x_1&=&1-x_2\end{array} \end{eqnarray*}$

An den Stellen $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ kannst du die zusätzlichen Bedingungen für $\begin{eqnarray*} x_1~ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2~ \end{eqnarray*}$ ablesen, wenn $\begin{eqnarray*} -1\leq r\leq0 \end{eqnarray*}$ .

11.02.2006, 11:05

aRo

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also, dass ich bei der Aufgabe zwei insgesamt folgende Lösungen hätte?

$\begin{eqnarray*} x_1 = 1-x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \leq x_2 \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \leq x_1 \leq 1 \end{eqnarray*}$

wäre das die Lösung?
und für die drei die Lösung die Werner aufgeschrieben hat?

aRo

11.02.2006, 11:07

sqrt(2)

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Ja.

11.02.2006, 11:15

aRo

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okay, danke smile

smile

war ja eine schwere Geburt Augenzwinkern

Augenzwinkern

aRo

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