Probleme bei LGS-Aufgabe

29.05.2008, 00:33

L (Ryuzaki)

Probleme bei LGS-Aufgabe

Hallo,
nach Analysis und analytischer Geometrie kommen wir nun in unserem 12'er Mathe-LK zum Thema Matrizen. Wir fangen mit dem Gauss-Verfahren zum Lösen von Linearen Gleichungssysemen an.
Das Verfahren habe Ich verstanden und kann es auch mittlerweile anwenden.
Aber Ich habe Probleme bei einer Textaufgabe - Ich kann das LGS nicht aufstellen. Vielleicht kennt einer von euch ja die Aufgabe schon oder erkennt, was zu tun ist.

Aufgabe: Ein Mischungsproblem
Ein metallurgischer Betrieb hat herausgefunden, dass er mit handelsüblichem Aluminium eine neue harte und relativ leichte Legierung herstellen kann, wenn diese Legierung genau 4% Titan und 2% Chrom enthält. Da reines Titan und Chrom relativ teuer sind, versucht man aus leicht zu beschaffenden Aluminium-Titan-Chrom-Legierungen die entsprechende Mischung herzustellen. Auf dem Markt werden vier Legierungen angeboten, deren Titan- bzw. Chromgehalt folgender Tabelle zu entnehmen ist, ebense der Preis pro Mengeneinheit (ME; etwa Tonne), in tausend DM (TDM).

Legierung | A | B | C | D |
--------------------------------------------------------------------------
Titan | 0,06 | 0,01 | 0,04 | 0,03 |
Chrom | 0,01 | 0,03 | 0,00 | 0,04 |
----------------------------------------------------------------------
Preis pro ME | 2 TDM | 1 TDM | 3 TDM | 2 TDM |

Insgesamt braucht der Betrieb genau 1 ME der neuen Legierung. - Die Fragen sind nun:
(a) Kann man die erhältlichen Legierungen in solchen Mengen, etwa $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ME von A und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ME von B und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ME von C und $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ ME von D einkaufen, dasssich darauf genau 1 ME der neuen Legierung zusammenschmelzen lässt?
(b) Wenn das möglich ist, wie ist die Beschaffung am billigsten?

Meine Überlegungen:
(a)
Text 1 könnte irrelevant sein, aber man brauch die Prozentzahlen und die Tabelle und den unteren Text. Dabei könnte die Lösung quasi schon im unteren Text stehen:

0,06 $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ + 0,01 $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ + 0,04 $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ + 0,03 $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ = 0,04
0,01 $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ + 0,03 $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ + 0,00 $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ + 0,04 $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ = 0,02
$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ = 1

Ist das so richtig?
Allerdings wäre das dann ein unterbestimmtes LGS, da es 4 Unbekannte und nur 3 Gleichungen gibt. Wie löse Ich das? Bisher haben wir immer die anderen in Abhängigkeit von dieser einen Unbekannten angegeben bzw. bei Vektoren eine Zahl für z.B. $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ eingesetzt, sodass gerade Werte herauskamen :S

(b)
Da kann ja nur die Zeile Preis pro ME mit gemeint sein. Alllerdings weiss Ich nicht, wie. Eventuell die Tabelle nicht von links nach rechts, sondern von oben nach unten lesen? Dann hätten wir ein überbestimmtes LGS.

Vielen Dank für eure Hilfe
MFG
L (Ryuzaki)

29.05.2008, 19:09

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RE: Probleme bei LGS-Aufgabe
zu a) Bei einem unterbestimmten LGS geht man analog vor - allerdings darfst du soviele Variablen setzen, wie du mehr Variablen als Lösungen hast. In dem Fall also eine (z.B. x4=0,2 oder auch x4=t, dann hättest du hinterher alle möglichen Lösungen des LGS, was für b) sinnvoller wäre). Das Verfahren dürfte dir aber aus der Linearen Algebra bekannt sein, wenn du den Normalvektor einer Ebene ohne Hilfe des Kreuzproduktes (also mitels zweier Skalarprodukte) bestimmst.

Wichtig allerdings: Die Ergebnisse deiner Lösung (bzw. der Raum der Variable t) muss natürlich so sein, dass keine negativen Ergebnisse vorkommen können.
Außerdem: wäre das LGS eindeutig, dann wäre die Aufgabe b) wohl unsinnig Augenzwinkern

zu b) Hier wäre es meiner Einschätzung nach sinnvoll, bei a) eine Variable = t gesetzt zu haben. Somit hast du eine Lösungsmenge aller Variablen in Abhängigkeit von t. Du kannst dann die benötigte Gesamtmenge als Funktion von t aufstellen.
Der Rest ist dann eine Extremwertaufgabe (Einschränkungen von t nicht vergessen!)

Das würde ich vorschlagen. Probier's vielleicht mal, kann ja sein, dass ich irgendetwas übersehen habe...

Gruß
MI

29.05.2008, 22:20

L (Ryuzaki)

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Ja, das haben wir gemacht, aber Ich war mir nicht mehr sicher, wie genau ^^ Denn für diese Aufgabe erscheint eine parametrische Substitution sehr hilfreich, und darauf wäre Ich wohl so erst einmal nicht gekommen.

a) Nun gut, versuchen wir also, die Aufgabe zu lösen. Ich habe erst einmal die Kommazahlen vernichtet und eine Matrix aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich folge einfach deinem Beispiel und ersetze $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ durch t.
Wie kann Ich das jetzt in meine Matriz schreiben? Bringe Ich das t dann auf die Seite, bei der die Lösung ohne Parameter steht?

b) Wie stelle Ich die Funktion denn dann auf?

30.05.2008, 15:16

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Deine Gleichung sieht also wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt einfach ausmultiplizieren (Skalarprodukt) und es entsteht ein LGS:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{I.}&& \quad 6x_1+1x_2+4x_3+1t=4 \\ \mathrm{II.}&&\quad (\ldots) \end{eqnarray*}$

Die Lösungsmenge müsste dann die Form haben wie:

$\begin{eqnarray*} L=\{4t;\frac{2}{t};\frac{t}{4};t\} \end{eqnarray*}$
So ähnlich jedenfalls. Dann gilt es noch t einzuschränken, also zu zeigen für welche t die Gleichung nach Aufgabenstellung (also keine negativen Lösungen) gilt.

zu b) Die Lösungsmenge gibt ja alle möglichen Lösungen an, richtig?
Jetzt berechne einfach mal den Preis für die Legierung, indem du für x1, etc. jeweils die entsprechende Lösung aus der Lösungsmenge einsetzt.
Damit dürftest du einen Term erhalten, der maximiert werden soll - also eine Funktion.

Gruß
MI

EDIT: Latex

30.05.2008, 23:34

L (Ryuzaki)

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Also, heute in der Schule habe Ich diese Aufgabe soweit vorgetragen, wie Ich sie geschafft habe. Ich habe meine Matrix auf 3 Variablen beschränkt, den Parameter auf die andere Seite gebracht, Gauss-Verfahren benutzt, alle Variablen in Abhängigkeit von t berechnet und dann habe Ich die jeweiligen Variablenterme = 0 gesetzt und daraus dann Rückschlüsse auf t gezogen.
Mein Mathelehrer war damit einverstanden und meinte, das wäre gut gedacht und richtig. (Zum Glück hat er nicht gesehen, dass Ich irgendwo einen Rechenfehler eingebaut habe, denn die Einsetzungsprobe war negativ Big Laugh

)
Nun gut, aber Ich werde die Aufgabe einfach noch einmal rechnen und gut ist.

(b)
Ich kam dann auf die Idee, das gelöste LGS als Gerade in Parameterform aufzuschreiben. Mein Lehrer meinte dann, die Gerade könne entweder steigen, oder fallen. Ich müsse nur herausfinden, ob die GErade steigt oder fällt und dann den unteren Maximalwert für t einsetzen, und schon könne Ich den Minimalpreis berechnen...
Daran zweifle Ich allerdings, da der Minimalwert nicht an einem Maximalwert für t liegen muss oO
Ich verstehe immer noch nicht, was Ich deiner Meinung nach machen soll - Ich kann t einsetzen und bekomme Maximal- und Minimalwerte heraus. Aber einen Term noch lange nicht. Geschweige denn einen, bei dem es sich lohnt, ein Minimum zu berechnen.

31.05.2008, 04:09

Bjoern1982

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Der Gesamtpreis G ergibt sich doch aus den 4 Einzelpreisen für die verschiedenen Legierungen, also x1 ME von A kosten ja 2 TDM ---> x1=4t, also sind die Kosten 4t*2=8t. Dasselbe machst du nun für x2, x3 und x4, bildest die Summe und erhälst damit eine Funktion G(t), die es zu minimieren gilt.

Gruß Björn

31.05.2008, 09:51

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... oder anders gesagt: Denk bei dieser Aufgabe einfach mal NICHT an Matrizen, dann ist's viel einfacher Augenzwinkern

.

Falls du vor lauter Bäumen den Wald auch nach Bjoern1982s Formulierung nicht siehst:
Frag dich einfach: Wenn du nur eine Lösung hättest, wie würdest du die Kosten für die Legierung berechnen? Und jetzt setze für deien Lösung die Lösungsmenge ein.

Gruß
MI

31.05.2008, 14:00

L (Ryuzaki)

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Das habe Ich ja so auch verstanden. Aber trotzdem ist die Funktion nur linear. Ich habe die Gleichungen alle Überprüft und meine Werte für $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3,x_4 \end{eqnarray*}$ stimmen.
Wenn Ich das als Produktsumme mit den Preisen pro Legierungseinheit hinschreibe, ergibt sich nach ausmultiplizieren und Zusammenfassen:
$\begin{eqnarray*} P(t)=2t+\frac{13}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P'(t)=2 \end{eqnarray*}$
Da gibt es keinen Extremwert! Wie gesagt, es ist eine Gearade unglücklich

Oder ist das schon die Antwort, nämlich, dass es egal ist, wie man die beschafft, weil alles gleich teuer ist?
EDIT: Idee direkt nach Posting
Halt, Ich habe es verstanden. Die Funktion $\begin{eqnarray*} P(t) \end{eqnarray*}$ ist für das kleinstmögliche t am kleinsten. Und das ist $\begin{eqnarray*} t=\frac{1}{9} \end{eqnarray*}$ .

31.05.2008, 14:45

Bjoern1982

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Ich denke nicht dass du es verstanden hast, eine lineare Funktion entsteht doch schon allein wegen dem 2/t in der Lösungsmenge nicht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} L=\{4t;\frac{2}{t};\frac{t}{4};t\} \end{eqnarray*}$

31.05.2008, 14:47

L (Ryuzaki)

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Lies dir bitte nochmal genau durch, was er geschrieben hat zu der Lösungsmenge.
Wenn du MEINE Lösungsmenge nimmst, dann kommst du auf mein Ergebnis Augenzwinkern

31.05.2008, 14:58

Bjoern1982

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Achso, er hat einfach mal irgendein Beispiel für eine Lösungsmenge gebracht....na dann Big Laugh

31.05.2008, 14:59

L (Ryuzaki)

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Ganz genau ^^
Stimmst du dann meiner Gerade zu?

31.05.2008, 20:06

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Achso, er hat einfach mal irgendein Beispiel für eine Lösungsmenge gebracht....na dann Big Laugh

Ja, ich habe nur ein Beispiel gemacht, dass auch Sonderfälle enthält, die es aber glaube ich bei einem solchen LGS nicht geben kann Augenzwinkern

. Entschuldigung, wenn ich ein wenig Verwirrung gestiftet habe.

Zu deinem Problem:
Du hast zwar eine Gerade, aber du hast auch einen Definitionsbereich (also den Bereich von Lösungen). Und in DIESEM Bereich gibt es dann entweder am linken oder am rechten Rand ein absolutes Minimum - und das ist deine Lösung.
Es ist ja nicht nach einem RELATIVEN, sondern nach einem ABSOLUTEN Minimum gefragt. Das ist der Knackpunkt!

Gruß
MI

31.05.2008, 20:28

nubler

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kann man nich einfach $\begin{eqnarray*} A^tAx=A^tb \end{eqnarray*}$ lösen?

01.06.2008, 00:13

L (Ryuzaki)

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Jo, dieses LGS ist zu einfach um Variablen im Nenner zu verursachen ^^ Es ist einfach eine Gerade - das kann man übrigens auch in Vektorenform darstellen (Das habe Ich im Unterricht dann auch getan und ein Lob kassiert *grins*)

Ja, die Suche ist nach einem absoluten Minimum, aber, wenn die Gerade z.B. sinkt dann ist z.B. der Flächeninhalt des Rechtecks am Minimal- und Maximalwert von t nicht unbedingt auch der größte oder kleinste! (Ich hoffe Ihr versteht mich)
Bei einer steigenden Gerade (Und die haben wir hier) ist natürlich das minimalste t für die minimalsten Kosten verantwortlich.
Besteht Bedarf nach den Zwischenschritten oder ist die Aufgabe für euch auch abgehakt?

MFG
L (Ryuzaki)

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