Jordanform berechnen - bug

11.02.2006, 12:34	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordanform berechnen - bug Jo erstmal folgende Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und folgende Bezeichung $\begin{eqnarray} v_{a,b}^{(c)} \end{eqnarray}$ Ist der b-te Hauptvektor der a-ten Hauptvektorkette zum Eigenwert c Etwa sind die $\begin{eqnarray} v_{a,1}^{(c)} \end{eqnarray}$ die Eigenvektoren zu c. Die Hauptvektorkette ist von der Form: $\begin{eqnarray} G = \lambda \cdot I - A \end{eqnarray}$ dann ist der n-te Hauptvektor $\begin{eqnarray} v_{a,n-1}^{(\lambda)} = G^{n-1} v_{a,n}^{(\lambda)} \end{eqnarray}$ Man rechnet quasi rückwärts. Probleme gibs wenn die geom. Vielfachheit eines Eigenraumes >= 2 < a(lambda) ist . So der Eigenwert der Matrix ist 2, mit algebraischer Vielfachheit 3. Der Kern bzgl. 2 ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =: G \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} L(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ Man könnte jetzt natürlich beide Vektoren ausprobieren um zu schauen auf welchem EV die Hauptvektorkette aufbaut, aber algorithmisch sollen wir so vorgehen. Den Kern von G² berechnen (HV zweiter Stufe) G² = 0 Dann einen zu Ker(G) linear unabhängigen Vektor aus Ker(G²) wählen. Also (0,0,1)^T. Dann setzen wir $\begin{eqnarray} v_{1,2}^{(2)} = (0,0,1)^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_{1,1}^{(2)} = Gv_{1,2}^{(2)} \end{eqnarray}$ Im Übungsbeispiel aus der Großübung kam dann genau ein EV heraus für $\begin{eqnarray} v_{1,1}^{(\lambda)} \end{eqnarray}$ . Bei der Matrix hier aber nicht. Das ist insofern wichtig als das die Transformationsmatrizen der Form $\begin{eqnarray} P = [v_{1,1}^{(\lambda)},...v_{1,s}^{\lambda},v_{2,1}^{(\lambda)},...v_{2,t}^{(\lambda)},v_{1,1}^{(\mu) }...] \end{eqnarray}$ ist. Also man muss wissen auf welchem EV die Hauptvektoren aufbauen. Und hier kommt leider nix gescheites bei raus.

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