endlicher Körper, Anzahl Unterräume

29.05.2008, 17:00	Anonym	Auf diesen Beitrag antworten »
endlicher Körper, Anzahl Unterräume Ich habe folgende Aufgabe: Sei K ein endlicher Körper mit q Elementen. Dann gibt es $\begin{eqnarray} \frac{(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)...(q^{n-m+1}-1)}{(q^{m}-1)(q^{m-1}-1)...(q-1)} \end{eqnarray}$ viele m-dimensionale Unterräume von $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ Kann mir da jemand weiterhelfen?
29.05.2008, 20:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ -dimensionalen Unterräume von $\begin{eqnarray} V = K^n \end{eqnarray}$ sind gerade die linearen Hüllen der Systeme von $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ linear unabhängigen Vektoren von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Von diesen Systemen (wir berücksichtigen die Anordnung) gibt es aber $\begin{eqnarray} \left( q^n - 1 \right) \left( q^n - q \right) \left( q^n - q^2 \right) \cdots \left( q^n - q^{m-1} \right) \end{eqnarray}$ Stück (zur Begründung vergleiche etwa hier). Nun gibt es aber durchaus verschiedene Systeme, die denselben Unterraum erzeugen. Denken wir uns solch einen Unterraum $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ fest gewählt. Es gilt dann $\begin{eqnarray} U \cong K^m \end{eqnarray}$ Man muß daher nur die geordneten Basen von $\begin{eqnarray} K^m \end{eqnarray}$ zählen, um im obigen Produkt die Mehrfachzählungen zu bekommen. Das geht wie schon gehabt. Eine Division führt dann zur gesuchten Anzahl.

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