Vorbereitung auf die Mathematik Olympiade - Seite 3

02.08.2008, 21:49

Airblader

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$\begin{eqnarray*} y \leq x ~\wedge~ 0 \leq x ~\not \Rightarrow~ y \geq 0 \end{eqnarray*}$

Edit:
Wobei du sowieso

$\begin{eqnarray*} y \leq x ~\wedge~ 0 \leq x ~\not \Rightarrow~ y \leq 0 \end{eqnarray*}$

geschrieben hast, was natürlich genauso falsch ist.

air

03.08.2008, 15:00

mathe760

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Wo habe ich das denn benutzt?

Bis denn mathe760 Wink

Wink

03.08.2008, 17:09

Airblader

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Zitat:

Original von mathe760
Aber was hilft mir dass, wenn ich dass nämlich in die Ungleichung $\begin{eqnarray*} y\cdot (y+1)\leq (x+1)^2 \end{eqnarray*}$ folgt mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq(x+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(y+1)\leq 0 \end{eqnarray*}$

Ich hätte nicht x und y verwenden sollen.
In meinem Beispiel entspricht x deinem (x+1)^2 und mein y deinem y(y+1) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ein Beispiel:
Aus 3<5 und 0<5 folgt nicht 3<0 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Achja: Da bei dir noch y>0 gelten soll, wäre y(y+1)<0 natürlich sofort ein Widerspruch.

air

03.08.2008, 20:35

mathe760

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Mir war schon klar dass, mein Ergebnis Unsinn ist, aber ich habe keine Ahnung wie ich y>=0 in den Beweis einbinden soll.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

03.08.2008, 21:25

AD

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Der erste Schritt wäre, das $\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$ einfach mal als zusätzliche Bedingung zu deiner Lösung der quadratischen Ungleichung hinzuzunehmen. Dann reduziert sich die Aufgabe darauf, unter der Voraussetzung

$\begin{eqnarray*} 0 \leq y \leq \frac{-1+\sqrt{4(x+1)^2+1}}{2}\qquad (1) \end{eqnarray*}$

die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} f(y) := y(y-1) \leq x^2\qquad (2) \end{eqnarray*}$

nachzuweisen. Für $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist in (2) nichts nachzuweisen, da die linke Seite da nichtpositiv ist und die rechte Seite $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ sowieso immer nichtnegativ ist.

-------------------------

Insofern ist (2) nur noch nachzuweisen für x-Werte mit $\begin{eqnarray*} \frac{-1+\sqrt{4(x+1)^2+1}}{2} > 1 \end{eqnarray*}$ und zugehörige y-Werte mit

$\begin{eqnarray*} 1 < y \leq \frac{-1+\sqrt{4(x+1)^2+1}}{2}\qquad (3) \end{eqnarray*}$ .

Wenn man jetzt noch bedenkt, dass $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y\geq 1 \end{eqnarray*}$ monoton wachsend ist, dann genügt zum Nachweis von (2) der Nachweis von

$\begin{eqnarray*} f\left( \frac{-1+\sqrt{4(x+1)^2+1}}{2} \right) \leq x^2\qquad (4) \end{eqnarray*}$ .

Und der lässt sich durch äquivalente Ungleichungsumformungen ziemlich leicht bewerkstelligen.

P.S.: Ich will damit nicht sagen, dass es nicht möglicherweise einen "eleganter" aussehenden Weg zur Problemlösung hier gibt, gegebenenfalls sogar unter Vermeidung all der hässlichen Wurzeln. Aber der Weg, den ich da gerade skizziert habe, erscheint mir doch sehr naheliegend und geradlinig - neudeutsch "straight forward" - zu sein... Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.08.2008, 23:47

mathe760

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Vielen Dank Arthur ich schreib hier auch nochmal den Rest der Lösung rein, wenn ich Zeit dazu finde, ich bin nämlich sehr beschäftigt zur Zeit (Rübiks Cube und Familienkrankheit traurig

traurig

) Ich glaube aber, dass ich so nicht effizient bis November üben kann und Fakt ist, dass ich nicht mehr viel Zeit habe! geschockt

geschockt

Also brauche ich jetzt ein Buch! Und Zwar sollte dieses auch im Handel erhältlich sein und nicht nur im Internet bestellbar!

Ausserdem würde ich gerne wissen, was das allerwichtigste Thema bei Olympiaden (insbesondere 1-2.Runde) ist.

Ich habe gesagt bekommen, dass folgende Mathematische Diziplinen gefordert sind:

-Zahlentheorie

-Geometrie

-Kombinatorik und Spieltheorie

-Funktionaltheorie (oder wie das auch heißt)

Ich hoffe auf einige Vorschläge eurerseits.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

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20.08.2008, 08:18

AD

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Problem Solving Strategies von Arthur Engel, ist auch hier im Matheboard schon mehrfach empfohlen worden:

Deutsche Mathematikolympiade
Mittelwerte
Buch über das Beweisen

26.08.2008, 21:43

mathe760

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Hallo Arthur Dent,

ich habe mich mal auf deinen Links umgeschaut und habe so einen sehr guten Eindruck von dem Buch bekommen, also bestell ich es mir gleich Morgen smile

smile

Jetzt heißt es wohl üben üben üben..., wenn ich irgendwanneinmal so "gut" werde wie Boardmitglieder wie du es bist smile

smile

Es gibt das Buch wohl nicht auf Deutsch oder? Ich werde hier dann nicht mehr so oft rein schreiben; zumal die Schule bei mir wieder beginnt unglücklich

unglücklich

Ich freue mich jetzt schon auf alles was noch kommt.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

20.10.2008, 19:07

mathe760

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Hallo,

ich habe eine neue Aufgabe, mit der ich Probleme habe:

a) Zeigen Sie, dass (1*15)+1, (11*105)+1 und (111*1005)+1 Quadratzahlen sind. (ohne Taschenrechner!!)

b) Es sei n eine natürliche Zahl mit n>0. Des weiteren seien a=11...1 die Zagl, deren Ziffernfolge aus n Einsen besteht, und b=10...05 die Zahl, deren Ziffernfolge aus einer Eins, n-1 Nullen und einer Fünf besteht.
Beweisen Sie, dass diesen Voraussetzungen (a*b) +1 eine Quadratzahl ist.

Bei der a) würde ich gerne wissen, wie ihr daran gehen würdet, wenn ihr keinen Taschenrechner benutzen dürft. Man findet ja schnell raus das die Quadratzahlen 3,34,334,... sind.

Zur b): Da habe ich mir gedacht, das ich das mit vollständiger Induktion nach n zeigen kann, stimmt das?

Ich schreib meinen (unvollständigen) Beweis mal morgen hier rein, habe gerade keine Zeit mehr...

Bis denn mathe760 Wink

Wink

20.10.2008, 21:06

AD

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Zitat:

Original von mathe760
Zur b): Da habe ich mir gedacht, das ich das mit vollständiger Induktion nach n zeigen kann, stimmt das?

Möglich. Ich würde es aber direkt tun.

21.10.2008, 21:13

mathe760

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Da hast du natürlich Recht, ich zeig jetzt mal meine Lösung:

a) Weiß ich nach wie vor nicht wie man das zeigen kann, das das Quadratzahlen sind. Etwa auch modulo 8 betrachten?

b) $\begin{eqnarray*} a \cdot b= 1...1\cdot 10...05= 1...15...5 \Rightarrow a\cdot b\equiv 3mod8 \Rightarrow a\cdot b+1\equiv 4 mod8\Rightarrow a\cdot b+1=k^2 \exists k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Erscheint mir immer erst schwer, aber gerade eben habe ich mich nochmal richtig hingesetzt, und das in 10 Minutten gelöst.

Aber kann man das einfach so hinschreiben, ich wüsste jetzt nicht, was man da noch schreiben sollte.

Darf man eigentlich den Taschenrechner ab der 2.Runde benutzen oder auch Formelsammlungen?

Eine Sache wüsste ich jetzt gerne mal: Wie macht man das "ist äquivalent" Zeichen in Latex und eine Geschweifte Klammer unter den 1en und 5en?

Bis denn mathe760 Wink

Wink

21.10.2008, 21:30

mathe760

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So hier gleich noch eine Aufgabe hintendran, weil ich heute so gute Laune habe smile

smile

:

Aufgabe: Bernd ist Krank und muss Tabletten nehmen. Diese sind in einer mit Alufolie verschlossenen Palette enthalten, welche die Form eines Reckteckes aus 5x2 Quadraten hat. In jedem Quadrat befindet sich eine Tablette. Als er von den 10 Tabletten die vierte entnommen hat, überlegt er sich, ob es denn sehr viele Muster aus 6 vorhandenen und 4 fehlenden Tabletten gibt. Dabei sollen zwei Muster gleich sein, wenn sie durch Drehen der Palette um 180° ineinander übergehen.

Wie viele Muster gibt es?

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} \textrm{Jede mögliche Belegung der Quadrate geht durch eine Drehung der Palette um 180° in genau eine andere mögliche Belegung über. Damit ist die Anzahl der möglichen, voneinander verschiedenen, Muster gleich } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix} }{2} =\frac{10!}{4! \cdot 6! \cdot 2} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2} =5 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 7= 15 \cdot 7=105. \end{eqnarray*}$

Lösungzeit: 5 Minutten! Ich werde besser Tanzen

Tanzen

.

Ich hoffe das stimmt.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

\Edit: Danke für den Befehl Jaques.

21.10.2008, 21:58

Jacques

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Zitat:

Original von mathe760

noch eine letzte Latex- Frage: Wie kann man nochmal Text in Latex darstellen?

Mit dem Befehl \textrm{...}

21.10.2008, 22:16

AD

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Zitat:

Original von mathe760
$\begin{eqnarray*} a \cdot b= 1...1\cdot 10...05= 1...15...5 \Rightarrow a\cdot b\equiv 3mod8 \Rightarrow a\cdot b+1\equiv 4 mod8\Rightarrow a\cdot b+1=k^2 \exists k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Die letzte Implikation ist mir ein Rätsel. Ok, ich sage es deutlicher: Die ist falsch.

Nur weil 4 ein quadratischer Rest modulo 8 ist, heißt das doch noch lange nicht, dass jede Zahl kongruent 4 modulo 8 auch eine Quadratzahl ist - die meisten davon sind es selbstverständlich nichtl! Ich zähle mal ein paar auf: 12, 20, 28, 44, 52, ...

Warum schreibst du nicht direkt die Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auf, und rechnest direkt $\begin{eqnarray*} ab+1 \end{eqnarray*}$ aus?

$\begin{eqnarray*} a = \sum_{k=0}^{n-1} 10^k = \frac{10^n-1}{9}, \quad b = 10^n+5 \end{eqnarray*}$

das ergibt

$\begin{eqnarray*} ab+1 = \frac{(10^n-1)(10^n+5)+9}{9} = \ldots \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von mathe760
Lösungzeit: 5 Minutten! Ich werde besser

Es macht wirklich keinen Spaß, deine Stimmung zu drücken, aber auch diese Lösung ist falsch: Da es $\begin{eqnarray*} \binom{5}{2}=10 \end{eqnarray*}$ Muster gibt, die bei Drehung um 180 Grad in sich selbst übergehen, ist die richtige Lösung nicht 105, sondern

$\begin{eqnarray*} \frac{210-10}{2} + 10 = 110 \end{eqnarray*}$ .

Wenn man so will, ein sehr einfacher Anwendungsfall des Burnside-Lemmas.

P.S.: Speedcubing scheint dir irgendwie mehr zu liegen...

22.10.2008, 12:28

mathe760

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Leider hast du Recht damit, dass speedcubing mir im Moment mehr liegt. Ich weiß nicht was da los ist, ich habe irgendwie seit Ende der 8. Klasse das Bedürfnis mich wirklich viel mit Mathematik zu beschäftigen, und das irgendwann sehr gut zu können. Ich glaube das liegt auch zum Teil daran, das es keine anderen Sachen gibt, die mir wirklich gut liegen, und die zusätlich Berufstauglich wären.

Meinst du ich kann da noch was machen oder soll ich jetzt einfach das Handtuch werfen? Ich habe einfach gedacht, das es im Prinzip egal ist wieviel Mathe ich kann, Hauptsache ich kann den Stoff bis zur 10. Klasse, und der fällt mir nun wirklich seeeehr leicht. Es muss doch nicht immer nur Menschen geben, die schon im Kindesalter (8-10 Jahren) ihre Vorliebe zur Mathematik entdecken, wie z.B Gauß. Schließlich muß man doch kein Genie oder einen iq von 180 haben um Mazematiker zu werden oder?

Es kann natürlich auch sein, das ich mich da etwas überschätzt habe?!
Aber ich persönlich bin eigentlich stolz darüber, dass ich den Oberstufenstoff schon begreife und die Abi-Aufgaben bewältigen kann, und dass sind meine Eltern auch!
Oder ist dies vllt. Nebensächlich? Du musst wissen, dass ich aus einem "ganz normalen" Elternhaus komme, sprich da war noch keiner besonders mathematisch interessiert.

Im großen und ganzen denke ich doch, dass sich mein mathematisches Verständnis noch weiter "entwickelt".
Selbstverständlich nehme ich jegliche Kritik an um besser zu werden und vllt. habe ich mich ja auch in meinen Fähigkeiten getäuscht, wenn dies der Fall sein sollte, dann sag es mir bitte ok?

So ich glaube nun habe ich dich genug genervt, ich werde mich jetzt erstmal zum Nachdenken zurückziehen.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

22.10.2008, 13:15

Jacques

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Sorry, wenn ich mich einmische, aber hier ist auch mal die Meinung eines Außenstehenden gefragt, glaube ich. ;-)

@ mathe760:

Sofern es nicht gerade so ist, dass Du einen Platz in irgendwelchen Top-Eliten anstrebst und nur das für Dich in Frage kommt, sind Deine Selbstzweifel ein bisschen albern. Komme mal für einen Moment wieder runter aus Arthur Dents höheren Sphären und vergleiche Dich mit einem durchschnittlichen Schüler, der sich mit Mathematik beschäftigt. Ich glaube, bei diesem Vergleich schneidest Du mehr als gut ab.

Nach meinem Eindruck bist Du wirklich begabt, und Du solltest Dich nicht selber verunsichern, indem Du mit Deinen Ansprüchen übertreibst. Wie gesagt: Siehe Dir auch mal den Durchschnitt an und orientiere Dich nicht nur an dem Niveau, was die Gesalbten hier vorlegen.

Das soll nicht heißen, dass Du Deinen Ehrgeiz aufgeben sollst. Aber wenn Du glaubst, Du müsstest Mathe aufgeben, dann hast Du eindeutig überzogen!

22.10.2008, 13:31

mathe760

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Vielen Dank für deine Meinung Jaques.
Wenn ich so darüber nachdenke, dann macht es wirklich keinen Sinn sich z.B. mit einem so Erfahrenen ( Das ist mein Eindruck von Arthur Dent- ohne jetzt Übertreiben zu wollen) Mathematiker wie Arthur Dent messen zu wollen.

Ich glaube mein Problem ist, das ich übereifrig bin, wie du ja schon angedeutet hast Jaques und mich- was Mathe angeht- in der Schule viel zu gelangweilt fühle.

Ich muss ja auch noch bedenken, dass ich nicht sonderlich viel Zeit habe mich mit Mathematik zu beschäftigen, da ich wie jeder andere Jugendliche auch Hausaufgaben machen muss, und mich auch gerne mit Freunden treffe oder einfach etwas faulenze. smile

smile

Ich bin warscheinlich einfach noch nicht ganz so weit und sollte mich wohl nicht allzu viel stressen. Aber immerhin war ich letzte Woche in 10 Mathematik Vorlesungen des 1. Semesters und die Studenten dort haben mir gesagt, dass sie mich für "talentiert" halten und mir dazu geraten weiter damit zu machen.

Zu deiner Frage ob ich der Elte angehören möchte: Das würde ich nach Möglichkeit natürlich gerne, aber in erster Linie würde ich einfach gerne ein anerkannter Mathematiker werden.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

22.10.2008, 17:57

Q-fLaDeN

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Ich misch mich auch mal kurz ein.

"Anerkannter Mathematiker..." das müsstest du erst noch definieren Big Laugh

Big Laugh

In der Regel werden sicher die wenigstens bekannt/berühmt (im Sinne von neuen Entdeckungen, Beweisen usw.). Ich möchte nach meiner Schulzeit auch Mathematik studieren, und hab in meinem ganzen Leben erst ca. 5 Beweise ohne fremde Hilfe durchgeführt...und ich bin im Gegensatz zu dir in der 11. Klasse bzw. wäre eig. schon in der 12. (bin Wiederholer). Da kann man dir einen Fehler wie:

$\begin{eqnarray*} ''a \cdot b= 1...1\cdot 10...05= 1...15...5 \Rightarrow a\cdot b\equiv 3mod8 \Rightarrow a\cdot b+1\equiv 4 mod8\Rightarrow a\cdot b+1=k^2 \exists k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ "

(was auch immer das heißen/sein soll) wirklich verzeihen.

Und dich in der 10. (?) Klasse mit Arthur zu vergleichen brauchst du wirklich nicht und wäre totaler Schwachsinn.

Außerdem solltest du dich wegen der Aussage von Arthur:

Zitat:

Original von Arthur Dent
P.S.: Speedcubing scheint dir irgendwie mehr zu liegen...

wirklich nicht entmutigen lassen. Er hat ja auch nur gemeint, dass dir Speed Cubing mehr liegt als Mathematik, und das heißt ja noch lange nicht, dass dir Mathematik nicht liegt und ich bin mir auch sicher, dass Arthur das so gemeint hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2008, 22:32

AD

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Zitat:

Original von mathe760
Meinst du ich kann da noch was machen oder soll ich jetzt einfach das Handtuch werfen?

Was die Olympiademathematik im Speziellen angeht: Probieren schadet ja nichts, also warum schon vorher das Handtuch werfen. Es gibt viele gute Mathematiker, die bei Olympiaden nichts gerissen haben.

Was mich bei dir ein wenig irritiert ist, dass du sehr oft voreilig eine Lösung feierst, die keine ist. Eine solche fehlende Fähigkeit zur Verifizierung bei jemanden, der ja durchaus mathematisch begabt ist, ist mir ganz einfach rätselhaft.

23.10.2008, 15:23

mathe760

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Ja Arthur Dent da muss ich da leider zustimmen, ich habe auch keine Ahnung warum das so ist, aber ich hoffe, das ich das mit der Zeit lernen werde, aber ich werde ja sehen wie es mir am 15. November bei der 2.Runde ergeht.

Erstmal vervollständige ich die Lösung von der 1. Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \textrm{Die beiden Zahlen a und b haben jeweils die beiden Darstellungen} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\sum_{k=0}^{n-1}~10^k=\frac{10^n-1}{9} \textrm{bzw.} b=10^n+5. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \textrm{Dies ergibt} a\cdot b+1= \frac{(10^n-1)\cdot (10^n+5)}{9}=\frac{10^{2n}+4\cdot10^n+4}{9} =\frac{(10^n+2)^2}{3^2} =(\frac{10^n+2}{3} )^2 \textrm{w.z.b.w.} \end{eqnarray*}$

Jetzt zu der Tabletten-Aufgabe:

Zitat:

Da es $\begin{eqnarray*} \binom{5}{2}=10 \end{eqnarray*}$ Muster gibt, die bei Drehung um 180 Grad in sich selbst übergehen, ist die richtige Lösung nicht 105, sondern $\begin{eqnarray*} \frac{210-10}{2} + 10 = 110 \end{eqnarray*}$ .

Da weiß ich gerade nicht wie man auf die 10 Muster kommt und die Formel die du mir da hingeschrieben hast um die gesamtzahl aller voneinander verschiedenen Muster zu erhalten ist mir auch unbekannt. Intuitiv hätte ich dann 210/10= 21 gerechnet, warum wäre dies falsch?

Bis denn mathe760 Wink

Wink

23.10.2008, 20:36

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Zunächst mal sind die $\begin{eqnarray*} \binom{10}{4} = 210 \end{eqnarray*}$ möglichen Packungen ohne Drehungsinvarianz richtig.

Jetzt kann man diese 210 Packungen in zwei Teilmengen aufspalten:

(1) Die erste Teilmenge enthält alle Packungen, die bei Drehung in eine andere Packung übergehen. Diese Teilmenge enthält offenbar eine gerade Anzahl von Packungen, die man jeweils zu Paaren zusammenfassen kann - Beispiel für so ein Paar

code:
1: 2: 3: 4: 5:	x x o x x o x o o x <---> x o o x o x x o x x

(2) Die zweite Teilmenge enthält alle Packungen, die bei Drehung in sich selbst übergehen - Beispiel für so eine Packung

code:
1: 2: 3: 4: 5:	o x o x x o x o x x <---> x x o x o x x o x o

Zählen kann man die Anzahl solcher Packungen folgendermaßen: Die zweite Spalte muss ja dasselbe Muster wie die erste Spalte vorweisen, nur in umgekehrter Reihenfolge. Also muss die erste Spalte genau $\begin{eqnarray*} \frac{4}{2} = 2 \end{eqnarray*}$ entnommene Tabletten enthalten, deren Position man unter den 5 Positionen der ersten Spalte frei wählen kann, das macht $\begin{eqnarray*} \binom{5}{2}=10 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Die zweite Spalte ist dann wie gerade erwähnt bereits festgelegt!

-----------

Also enthält die zweite Teilmenge 10 Packungen, die erste folglich $\begin{eqnarray*} 210-10=200 \end{eqnarray*}$ Packungen, welche sich aber auf $\begin{eqnarray*} \frac{200}{2}=100 \end{eqnarray*}$ drehungsinvariante Packungen reduzieren lassen. Eine solche Reduktion ist bei den Packungen der zweiten Teilmenge nicht erforderlich!

P.S.: Dass deine Lösung falsch ist, hättest du auch merken können, wenn du statt einer $\begin{eqnarray*} 2\times 5 \end{eqnarray*}$ -Packung mal dieselbe Frage für eine $\begin{eqnarray*} 2\times 3 \end{eqnarray*}$ -Packung betrachtet hättest. Dann wäre nach deiner Methode die offensichtlich falsche Anzahl (?)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \binom{6}{4} = 7{,}5 \end{eqnarray*}$

herausgekommen, statt der richtigen Anzahl

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( \binom{6}{4} + \binom{3}{2} \right) = 9 \end{eqnarray*}$ .

02.11.2008, 21:04

mathe760

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Hallo,

ich bins mal wieder und hier kommt schon die nächste Aufgabe:

Der Logiker L und der Mathematiker M haben am gleichen Tag Geburtstag. Bei ihrer gemeinsamen Geburtstagsfeier unterhalten sich die beiden Freunde L und M über ihre Alter (in ganzen Jahren):

L zu M: Ich habe mir drei natürliche Zahlen gedacht, deren Produkt 2450 ist und deren Summe dein Alter angibt.

M zu L nach längerem Nachdenken und Rechen: Daraus kann ich die drei Zahlen nicht ermitteln.

L zu M: Jede der drei Zahlen ist kleiner als mein Alter.

M zu L: Jetzt kenne ich die drei Zahlen.

a) Wie heißen die drei Zahlen?
b) Wie alt sind L und M?

Meine Lösung:

a)

Seien a,b und c die gesuchten Zahlen, dann gilt nach Vorraussetzung

a*b*c= 2450
a+b+c=A_M

mit a,b,c < A_L. (*)

Daraus erhält man a*b*c=2450< A_L^3 <=> A_L >14 (A_L=14 würde a*b*c=13*13*13=2197 als maxiumalen Wert mit sich führen. Ein Widerspruch zur Vorraussetzung.)

Somit gilt a+b+c< a+2A_L > 28+a

Man hat also folgendes Ungleichungssystem:

a+b+c < a+2A_L (1)
28+a < a+2A_L (2)

Subtrahiert man (2) von (1) folgt

b+c-28< 0 <=> b+c<28 (**) <=> (b+c)/2 < 14 <=> (b+c)/2 < sqrt{ (b^2+c^2)/2} > 14

<=> b^2+c^2 > 392 <=> c> sqrt{392-b^2} (3)

(**)
<=> b+c<b+ sqrt{392-b^2}<28

Aus der rechten Seite folgt durch äquivalenzumformungen

2b^2- 56b +392 >0 zusammen mit (*) folgt, das dies für alle b>14 gilt.

Mit (3) folgt weiter b>= 20

Der Rest folgt Morgen, ist das denn bis hierhin richtig?

Bis denn mathe760 Wink

Wink

03.11.2008, 11:41

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Ich kann mir im Moment nur schwer vorstellen, dass diese Art Überlegungen zielführend sind. Eine Konzentration auf die Primfaktorzerlegung von 2450 und deren Auswirkungen auf die möglichen Produktzerlegungen scheint da wesentlich erfolgversprechender.

Wenn du mit b die mittlere der drei Zahlen meinst, dann ist die Schlussfolgerung b>=20 auf jeden Fall falsch: Auf den mittleren der drei Faktoren der tatsächlichen Lösung trifft das nämlich nicht zu. unglücklich

unglücklich

03.11.2008, 15:43

mathe760

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Hallo,

ja ich habe mir das so gedacht, das a,b,c die drei Zahlen sind, wobei ich keine größenordnung festgelegt habe. Kannst du mir denn mal zeigen, wo mein Fehler in der obigen Rechnung ist? Ich bin halt so vorgegangen: A_L abschätzen, damit zwei Ungleichungen aufstellen, addieren und dann nach einer der beiden Variablen auflösen. Ich dachte einfach, das der Weg über die Primzahlzerlegung viel zu einfach wäre für eine Aufgabe aus der 2.Runde.

Aber gut, dann halt meine Lösung mit Primfaktorzerlegung:

Es ist 2450= 2*5*5*7*7= 7^2*5^2*2.

Die möglichen Zerlegungen der Zahl 2450 in drei Faktoren sind also

a=7, b=7, c=50

a=7, b=5, c=70

a=7, b=2, c= 175

a=7, b=10, c=35

a=7, b=25, c=14

wenn die 1 als Faktor nicht mitgezählt wird.

Aber wie soll ich denn hieraus das alter der Beiden errchnen, es gibt ja verschiedene Möglichkeiten, und im Grunde kann der eine auch 200 sein, oder?

Bis denn mathe760 Wink

Wink

03.11.2008, 15:53

riwe

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wenn ich´s richtig kapiere, hast du erst eines von den 2 relevanten zahlentripeln.
und das richtige fehlt noch

auf jeden fall fehlen da noch einige, auch wenn man ein nicht-methusalemisches alter unterstellt unglücklich

unglücklich

03.11.2008, 16:02

AD

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Da kann ich Werner nur in allen Punkten zustimmen, und zwar voll und ganz.

03.11.2008, 16:17

mathe760

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So das müssten denn jetzt alle sein:

a=7, b=7, c=50

a=7, b=5, c=70

a=7, b=2, c= 175

a=7, b=10, c=35

a=7, b=25, c=14

a=2, b=5, c=245

a=2, b=25, c=49

a=2, b=35, c=35

a=5, b= 10, c=49

a=5, b=5, c=98

a=5, b=14, c=35

Und wie kann ich denn jetzt rausfinden welches Tripel die Lösung ist?

Bis denn mathe760 Wink

Wink

03.11.2008, 16:20

riwe

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da fehlen immer noch einige - potentiell unwichtige smile

smile

wenn du das alter der beiden klugis bestimmen willst, was liegt denn dann nahe,
was du mit a, b und c machen könntest verwirrt

verwirrt

03.11.2008, 16:26

mathe760

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naja wenn ich a,b und c miteinander addiere, dann bekomme ich das Alter vom Mathematiker, aber was bringt mir das, ich habe ja so viele Tripel? verwirrt

verwirrt

Bis denn mathe760 Wink

Wink

03.11.2008, 16:38

AD

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Zitat:

Original von mathe760
L zu M: [...]und deren Summe dein Alter angibt.

M zu L nach längerem Nachdenken und Rechen: Daraus kann ich die drei Zahlen nicht ermitteln.

Übersetzt heißt das: Es gibt mindestens zwei verschiedene Produktzerlegungen der 2450 in drei Faktoren, deren Faktorensumme gleich ist, und dann gleich dem Alter von M. Ansonsten hätte er nämlich schon jetzt die drei Faktoren gekannt, denn man kann ja (hoffentlich) davon ausgehen, dass M sein eigenes Alter kennt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2008, 16:52

riwe

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ich nehme dir das addieren ab.
ohne anspruch auf vollständigkeit, die solltest du aber beibringen, zumindest für alter < 100 oder so unglücklich

unglücklich

und bedenke, dass es 2 logiker und keine hausfrauen wie du und ich sind smile

smile

woraus die alter der beiden folgen

03.11.2008, 17:08

mathe760

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Genau Riwe, dass habe ich auch gerade herausgefunden.

Also Der Mathematiker ist 64 Jahre alt. Da M nach der letzten Information von L das Tripel eindeutig wählen kann, muss L 50 Jahre alt sein, da dann 5,10,49 alle kleiner als 50 sind und 7,7,50 nicht alle kleiner als 50 sind. Damit sind die gesuchten Zahlen 5,10 und 49.

Ist doch eine ganz lustige Aufgabe oder?

Ich ahbe mir jetzt für die nächsten 2 Wochen folgendes vorgenommen:

-Sehr viel Ungleichungen und Gleichungssysteme üben

- Einfache Zahlentheoretische Aufgabe

-zunächst sehr einfache Geometrie und dann immer schwerer.

Das heißt ich habe einen relativ strammen Zeitplan, denn schließlich möchte ich ja in die 3.Runde kommen, das wäre schon wichtig für mich, da ich denke, dort sehr viel Erfahrung zu sammeln.

Daher bräuchte ich vllt. einige Aufgaben von euch in diesen Bereichen, und wenn ihr meint, da fehlt noch was ganz wichtiges für die 2.Runde, dann sagt es mir bitte ok?

Sehr unpassend, das ich jetzt gerade Klausuren zur Vorbereitung auf die Realschulprüfungen, da geht echt viel Zeit flöten... geschockt

geschockt

Bis denn mathe760 Wink

Wink

06.11.2008, 18:02

mathe760

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Hat denn keiner Aufgaben, oder kann kommentieren was ich geschrieben habe?
Das wäre sehr nett und wichtig.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

06.11.2008, 18:41

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Ich hab mal eine steinalte Zweitrunden-Aufgabe rausgesucht, aber an die diesjährige 48.Olympiade angepasst. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Man untersuche, ob es ein Polynom $\begin{eqnarray*} p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligen Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_0, a_1, \ldots, a_n \end{eqnarray*}$ gibt, das

a) für drei ganzzahlige paarweise voneinander verschiedene Werte von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ den Wert 1 und für einen weiteren ganzzahligen Wert von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ den Wert 48 annimmt;

b) für vier ganzzahlige paarweise voneinander verschiedene Werte von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ den Wert 1 und für einen weiteren ganzzahligen Wert von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ den Wert 48 annimmt.

Bejahendenfalls gebe man im Fall a) bzw. im Fall b) ein solches Polynom an.

Oder mal was ganz einfaches, aber mit vorstellbar vielen Lösungsvarianten:

Zitat:

Man beweise $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ , ohne die Wurzeln auszurechnen.

07.11.2008, 18:35

mathe760

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Danke für die Aufgaben Arthur Dent.

Ich hoffe ich habe die zweite Aufgabe jetzt richtig gelöst, jedenfalls habe ich keine Wurzeln ausgerechnet:

Im folgenden wird vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n+1} \ > 1 \end{eqnarray*}$

Beweis:

Durch äquivalente Umformungen der Ungleichung erhält man

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{3}< \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> \sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{ \frac{3}{2}} < \sqrt[3]{ \frac{3}{2}}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>\sqrt[3]{2} < 2\cdot \sqrt[3]{\frac{3}{2}}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>\sqrt[3]{2}<2\cdot \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{ \frac{3}{2}}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>\sqrt[3]{2} <\sqrt[3]{2\cdot2\cdot3}-1. \end{eqnarray*}$

Da nun $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2}<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2\cdot2\cdot3}-1>\sqrt[3]{2^3}-1=\sqrt[3]{8}-1=1, \end{eqnarray*}$

folgt insgesamt $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2}<1<\sqrt[3]{2\cdot2\cdot3}-1 \end{eqnarray*}$

w.z.b.w.

Die andere Aufgabe schau ich morgen auch nochmal an.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

07.11.2008, 18:38

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Zitat:

Original von mathe760
Da nun $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2}<1 \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht. unglücklich

unglücklich

07.11.2008, 18:51

mathe760

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Stimmt

unglücklich

Wie unachtsam von mir, dann werde ich wohl nochmal darüber nachdenken müssen.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

08.11.2008, 19:27

mathe760

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Hallo,

Hier mein neuer Lösungsversuch:

Beide Seiten der Ungleichung sind positiv, daher ist die Ungleichung äquivalent zu der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{3} -\sqrt[3]{4}< \sqrt[3]{3} -\sqrt[3]{2}. \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{3}< \sqrt[3]{4} <=> \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{4}<0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{3}> \sqrt[3]{2}<=> \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}>0, \end{eqnarray*}$

folgt $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{4}<0<\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}. \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Das scheint mir aber etwas zu einfach zu sein, kann es sein, das ich wieder irgendeinen dummen Fehler gemacht habe? Erstaunt1

Erstaunt1

Bis denn mathe760 Wink

Wink

08.11.2008, 20:15

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Zitat:

Original von mathe760
Das scheint mir aber etwas zu einfach zu sein, kann es sein, das ich wieder irgendeinen dummen Fehler gemacht habe? Erstaunt1

Erstaunt1

Und was für einen... geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

09.11.2008, 13:59

mathe760

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Also ist jetzt alles richtig? smile

smile

Wie viele Punkte bekommt man eigentlich pr. Aufgabe bei der 2. Runde?

Bis denn mathe760 Wink

Wink

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