Abbildungsmatrix bestimmen

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11.02.2006, 16:37	milkakuh	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix bestimmen Hi Ihr, ich hab ein riesen Problem, schreibe demnächst eine Klausur und hab absolut keinen PLan wie man eine bestimmte Aufgabe löst. Ich hoffe einer oder eine von Euch kann mir weiterhelfen. und zwar wird $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} M \cdot A \end{eqnarray}$ abgebildet. mit: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ weiter seien die geordneten Basen: $\begin{eqnarray} B := ( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ von V und $\begin{eqnarray} C := ( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ von W gewählt. Nun soll ich die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray} M^B_C ( \phi ) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ bezüglich dieser beiden Basen und die Einträge angeben. Ich hab leider keine Ahnung was ich machen soll... Bitte helft mir danke Eure Jessica
11.02.2006, 16:39	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abbildung geht also von V -> W V ist der VR der 3x2 Matrizen W ist der VR der 2x2 Matrizen ?
11.02.2006, 16:41	milkakuh	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau, sorry hätte ich mit angeben sollen
11.02.2006, 16:43	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht denn die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung aus? (solltet ihr definiert haben)
11.02.2006, 16:58	milkakuh	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich weiß das $\begin{eqnarray} \phi \epsilon Hom_K (V,W) \end{eqnarray}$ Dann soll ich definieren: $\begin{eqnarray} a_{ij} \epsilon K, 1\leq i \leq m, 1\leq j\leq n \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \phi(v_i) = \sum_{i=1}^m~a_{ij} w_i \end{eqnarray}$ Dann würde heißen $\begin{eqnarray} M_C^B (\phi) := (a_{ij}) \epsilon K^{m x n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1\leq i \leq m, 1\leq j\leq n \end{eqnarray}$ die Abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ bezüglich B und C.
11.02.2006, 17:00	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
So siehts aus. Schritt 1, welche Dimension hat die Matrix? achtung $\begin{eqnarray} \phi(v_i) = \sum_{i=1}^m~a_{ij} w_i \end{eqnarray}$ ist falsch es muss $\begin{eqnarray} \phi(v_j) = \sum_{i=1}^m~a_{ij} w_i \end{eqnarray}$ heissen.
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11.02.2006, 17:11	milkakuh	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich sach ich bin echt schlecht in LA g aber eigentlich müsste die Dimension welche ja bei einer MxN Matrix durch m x n definiert ist,also gleich 6 sein, korrekt ?
11.02.2006, 17:15	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bildest von einem Vektorraum der Dimension 6 auf einen Vektorraum der Dimension 4 ab, Du musst doch nur einsetzen. Also hat die Matrix welche Dimension?
11.02.2006, 17:29	milkakuh	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt weiß ich gar nichts mehr, Du meinst die Dimension der Abbildungsmatrix oder was ? kein Plan wie ich da dran kommen soll
11.02.2006, 17:31	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei dim(V) = n und dim(W) = m (K-VR) und f: V -> W Sei mat(f) = F, dann ist $\begin{eqnarray} F \in \mathbb{K}^{m,n} \end{eqnarray}$ achte darauf das sich die Dimensionen der VR umtauschen. Wie ich sagte nur einsetzen. Welche Dimension hat also die Matrix?
11.02.2006, 17:39	milkakuh	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich bin immer noch davon überzeigt die Dimension einer Matrix ergibt sich aus $\begin{eqnarray} m \cdot n \end{eqnarray}$ was dann für $\begin{eqnarray} 4\cdot 6 = 24 \end{eqnarray}$ sprechen würde. Wenn nicht sags mir bitte; ich check hier absolut gar nichts mehr
11.02.2006, 17:43	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Eingesetzt haste schon richtig. Nur hab ich noch nie von einer Matrix gehört die Dimension 24 hat. Wie soll die Aussehen? Eine Matrix hat Spalten und Zeilen. Aber 24? Also die Darstellende Matrix Deiner Abbildung hat die Dimension 4 x 6. Das heißt 4 Zeilen und 6 Spalten. Soweit kommst Du mit? Ich rede von der Dimension einer Matrix nicht von der Dimension eines Vektorraumes.
11.02.2006, 17:44	milkakuh	Auf diesen Beitrag antworten »
hehe... ähm.. ja ok, ich hasse LA g; was würd ich ohne Dich machen. Ja gut, komme soweit (noch) mit
11.02.2006, 17:48	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut im zweiten Schritt schauen wir uns die Bilder der Basisvektoren aus B an. Das heißt wir bilden $\begin{eqnarray} f(b_j) \\| b_j \in B \end{eqnarray}$ also wir berechnen alle $\begin{eqnarray} b_jA \end{eqnarray}$ Beispiel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kriegst Du das hin für alle Basisvektoren aus B?
11.02.2006, 17:55	milkakuh	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das krieg ich hin, hab'sch hier auf einem Blatt Papier gemacht. Und jetzt ?
11.02.2006, 18:03	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt kommen wir zu der schönen Formel $\begin{eqnarray} \phi(v_j) = \sum_{i=1}^m~a_{ij} w_i \end{eqnarray}$ Die $\begin{eqnarray} w_i \end{eqnarray}$ sind die Basisvektoren aus C. Ich mach es Beispielhaft für den ersten Basisvektor. Also wir wissen das $\begin{eqnarray} \phi(b_1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt brauchen wir die linearkombination von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Basis des VR ist $\begin{eqnarray} C := ( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ Das heißt wir müssen unseren Ergebnisvektor so darstellen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = a_{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + a_{21} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + a_{31} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + a_{41} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit muss $\begin{eqnarray} a_{11} = 1, a_{21} = 0, a_{31} = -6, a_{41} = 0 \end{eqnarray}$ sein. Der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \\ a_{41}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist nun die erste Spalte unserer darstellenden matrix. Wenn Du genau hinschaust ist das ganz genau das was in der Formel oben steht. Das machste Du jetzt für jedes Ergebnis der 6 Basisvektoren aus B und Du hast Deine 6 Spalten.
11.02.2006, 18:05	milkakuh	Auf diesen Beitrag antworten »
also die LÖsungen wären dann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}2 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Upps.. da warst wieder schneller wie ich g
11.02.2006, 18:06	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
hast Du meinen letzten Beitrag verstanden?
11.02.2006, 18:11	milkakuh	Auf diesen Beitrag antworten »
ja super geil... endlich hab auch ich es verstanden. Klasse, habs gerade gemacht und die Lösung stimmt, nur dat ich die Basisvektoren von W versehntlich falsch angegeben haben, aber das tut ja nichts zu Sache. Prinzip ist 100% verstanden, is ja doch ganz easy, man braucht nur einen der es echt idiotensicher erklären kann; so wie Dich !!! Dankeschön !!! Hoffe wenn noch nen Problem auftaucht wärst Du wieder für mich da, und nicht dat Du die Schnauze von mir voll hast und meine Postings demnächst lieber ignorierst ggg danke nochmal Gruß Jessica
11.02.2006, 18:12	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Super dann kann ich ja duschen gehn
11.02.2006, 18:17	milkakuh	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry ! wollt Dich nicht so lange aufhalten ! Schönes Wochenende noch

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