Zusammenhang

11.02.2006, 19:04

Marcyman

Zusammenhang

Lerne gerade für meine Ana I Klausur und merke, dass ich den Begriff Zusammenhang zwar verstanden habe, aber fast keine Beweistechniken drauf habe bzw. Sätze vernünftig anwenden kann. Haben dazu auch nur eine Aufgabe mal gekriegt (die hatte ich auch hier schon gepostet), bin daher ungeübt.

Wie beweise ich z.B. dass die Menge S^m={x e R^m: ||x||=1} zusammenhängend ist. Das muss doch fast trivial sein. Den Satz "Bilder zusammenhängender Mengen sind zusammenhängend unter stet. Fkt." kann ich hier nicht benutzen, denn ich schaffe es S^m nur als Urbild darzustellen. Dann bin ich immer geneigt Wegzusammenhang nachweisen zu wollen, aber alle Anschauung bringt mich nicht weiter. Vielleicht habt ihr n paar Tipps und Tricks, und andere Aufgaben (auf Ana I Klausur Niveau)

Achja, Zusammenhang haben wir darüber definiert, dass eine Menge zusammenhängend ist, wenn sie nicht in zwei relativ offene, disjunkte, nicht leere Mengen zerfällt.

11.02.2006, 22:46

Dual Space

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RE: Zusammenhang
Ich kenn den Begriff "zusammenhängend" unter folgender Definiton:
Eine Menge M heißt zusammenhängend, wenn man zwei bel. Punkte aus M stets mit einem Polygonzug verbinden kann, so dass dieser komplett in M liegt.

Jetzt frage ich mich, ob diese Definiton irgendwie mit eurer korrespondiert?

11.02.2006, 23:03

Leopold

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Ich sehe hier auch kein einfaches topologisches Argument, den Zusammenhang zu beweisen, so klar das von der Anschauung her ist. Ich würde daher, wie du es auch vorgeschlagen hast, den Wegzusammenhang nachweisen. Da kann man sich dann aber auch ganz von der Anschauung leiten lassen. Die Idee: Sich auf einem zweidimensionalen Großkreis auf der Kugel bewegen.
Deine Bezeichnungen verwirren mich etwas. Üblicherweise setzt man $\begin{eqnarray*} S^m = \left\{ \, x \in \mathbb{R}^{m+1} \, \left| \ \, \left\| x \right\| = 1 \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$ . Damit der Satz richtig ist, muß man dann $\begin{eqnarray*} m \geq 1 \end{eqnarray*}$ voraussetzen.

Seien nun $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ verschiedene Elemente von $\begin{eqnarray*} S^m \end{eqnarray*}$ . Es gibt dann einen zweidimensionalen linearen Unterraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{m+1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y \in U \end{eqnarray*}$ . Man ergänzt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu einer Orthonormalbasis $\begin{eqnarray*} x, x' \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . Dann existieren $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} y = \lambda x + \mu x' \end{eqnarray*}$

Berechnet man jetzt $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ im Sinne des Standardskalarproduktes, so folgt nach der binomischen Formel wegen $\begin{eqnarray*} x \cdot x' = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x, x',y \in S^m \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 1 = \lambda^2 + \mu^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ist daher ein Punkt auf dem Einheitskreis. Folglich existiert ein $\begin{eqnarray*} t_0 \in (0,2 \pi) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \lambda = \cos{t_0} \, , \ \ \mu = \sin{t_0} \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \varphi: \ [0,t_0] \to S^m \, , \ \ \varphi(t) = (\cos{t}) \, x + (\sin{t}) \, x' \end{eqnarray*}$

ein $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ verbindender Weg in $\begin{eqnarray*} S^m \end{eqnarray*}$ . Daß tatsächlich $\begin{eqnarray*} \varphi(t) \in S^m \end{eqnarray*}$ gilt, zeigt man wieder durch Berechnung von $\begin{eqnarray*} \left( \varphi(t) \right)^2 \end{eqnarray*}$ .

Eine Spur einfacher geht es vielleicht so:

Es sei $\begin{eqnarray*} D^m \end{eqnarray*}$ die abgeschlossene Einheitskugel $\begin{eqnarray*} \left\| x \right\| \leq 1 \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ . Die stetigen Abbildungen

$\begin{eqnarray*} D^m \to \mathbb{R}^{m+1} \, , \ \ (x_1,x_2,\ldots,x_m) \mapsto \left( x_1,x_2,\ldots,x_m,\pm \sqrt{1 - \left( x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_m^2 \right)} \right) \end{eqnarray*}$

haben als Bild die obere bzw. untere Hemisphäre von $\begin{eqnarray*} S^m \end{eqnarray*}$ . Da nun $\begin{eqnarray*} D^m \end{eqnarray*}$ zusammenhängend ist (das folgt z.B. aus der Sternförmigkeit), so sind auch die beiden Hemisphären von $\begin{eqnarray*} S^m \end{eqnarray*}$ zusammenhängend. Und da diese wiederum gemeinsame Punkte besitzen, ist schließlich auch $\begin{eqnarray*} S^m \end{eqnarray*}$ zusammenhängend.

12.02.2006, 01:44

Marcyman

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Ach du Schande. Erstmal danke für die Mühe Leopold, beeindruckst mich immer wieder. Aber ich fürchte (eher: hoffe) da muss es ein noch einfacheres Argument geben, denn das war mal ne Ana I Klausuraufgabe von unserem Prof und seine Klausuraufgaben sind nicht gerade schwer. Habe auch noch nie etwas von sternförmig gehört. Das Einzige, was wir in dieser Richtung gezeigt haben, war, dass die abgeschlossene Kugel konvex, also wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend ist, aber das wird wohl kaum weiterhelfen. Vielleicht irre ich mich auch und es geht nicht einfacher, werd am Montag mal nachfragen.

12.02.2006, 08:40

Leopold

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Falls du eine einfachere Lösung findest, bitte hier hereinstellen. Das würde mich interessieren.

12.02.2006, 12:48

Dual Space

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Vielleicht wäre es so möglich:

Seien $\begin{eqnarray*} \xi_0,\mu\in S_1:=\{x\in\mathbb{R}^m:\|x\|=1\} \end{eqnarray*}$ und weiter $\begin{eqnarray*} B_\varepsilon(\xi_0):=\{x\in\mathbb{R}^{m}:\|\xi_0 - x\|\leq \varepsilon\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest.
Wähle $\begin{eqnarray*} \xi_1\in B_\varepsilon(\xi_0)\cap S_1 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \|\mu -\xi_1\|\leq \|\mu -x\|~\forall x\in B_\varepsilon(\xi_0)\cap S_1 \end{eqnarray*}$ .
Wähle dann $\begin{eqnarray*} \xi_2\in B_\varepsilon(\xi_1)\cap S_1 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \|\mu -\xi_2\|\leq \|\mu -x\|~\forall x\in B_\varepsilon(\xi_1)\cap S_1 \end{eqnarray*}$ .

Durch Fortsetzung dieses Verfahrens (gestoppt wird, falls $\begin{eqnarray*} \|\mu-\xi_{N(\varepsilon)}\|=0 \end{eqnarray*}$ ) erhhält man eine Menge $\begin{eqnarray*} M:=\{\xi_j:j\in\{0,1,\dots, N(\varepsilon)\}\}\subset S_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|\mu -\xi_{n+1}\|\leq \|\mu -x\|~\forall x\in B_\varepsilon(\xi_n)\cap S_1 \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} \xi_0,\mu\in M \end{eqnarray*}$ .

Nach Grenzübergang (ich gebe zu, dass dies wohl die kritischste Stelle ist) von $\begin{eqnarray*} \varepsilon\to 0 \end{eqnarray*}$ erhalten wir einen Weg $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \xi_0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , der ganz in $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ liegt, woraus die Behauptung folgt.

Edit: Abbruchkriterium ergänzt!

PS: Mich würde noch interessieren, wie ihr relativ offene Mengen definiert habt, mir ist dieser Begriff neu. Danke! Wink

12.02.2006, 14:31

Marcyman

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Eine Menge B heißt relativ offen in M, falls es eine offene Menge A gibt mit $\begin{eqnarray*} B=M \cap A \end{eqnarray*}$ .

@ Leopold,
werd ich machen.

13.02.2006, 00:07

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Dual Space
Wähle $\begin{eqnarray*} \xi_1\in B_\varepsilon(\xi_0)\cap S_1 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \|\mu -\xi_1\|\leq \|\mu -x\|~\forall x\in B_\varepsilon(\xi_0)\cap S_1 \end{eqnarray*}$ .

Warum kann man das so wählen?
Ich denke, dass dies genau der Punkt ist, der für den zusammenhang zu zeigen ist.

Gruß vom Ben

13.02.2006, 06:49

Dual Space

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@Ben: Stimmt ... verwirrt

Ich würde behaupten, dass kann ich so wählen, weil der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ zusammenhängend ist, aber das wird wohl nicht ganz als Begründung reichen. unglücklich

13.02.2006, 16:52

Marcyman

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Hab heute also nen wissenschaftlichen Mitarbeiter unseres Profs gefragt (Prof ist krank, Bein beim spazieren gehen gebrochen) und dem ist auch nichts leichteres eingefallen...

13.02.2006, 20:05

Abakus

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Wie ist folgendes?

Sei $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R^m-\{0\}~~ \rightarrow S^m, f(x) := \frac{x}{||x||} \end{eqnarray*}$ .

f ist sicher stetig und der Definitionsbereich zusammenhängend. Also ist es auch die Sphäre als Bild.

Grüße Abakus smile

13.02.2006, 21:19

Leopold

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Und der Beweis funktioniert auch noch gleich für andere Normen. Freude

(Nur die Bezeichnung mit dem $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ irritiert mich immer noch. Es sollte wohl $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{m+1} \setminus \{ 0 \} \to S^m \end{eqnarray*}$ heißen.)

13.02.2006, 21:42

Marcyman

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Sauber!!!

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