Ableitung von Betrag von cos(x)

12.02.2006, 21:32	Marcell Jansen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung von Betrag von cos(x) hi ! Könnt ihr mir sagen, was die Ableitung vom Betrag von cos(x) ist ? Von cos ist die Ableitung -sin, aber wie ist das beim Betrag von cos ? Viele Grüße aus Mönchengladbach ! ...Danke für Eure Hilfe !
12.02.2006, 21:50	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von Betrag von cos(x) $\begin{eqnarray} f(x)=\|x\| \Rightarrow f'(x)=\frac{\|x\|}{x}=\frac{x}{\|x\|} \end{eqnarray}$ Und jetzt nur noch die Kettenregel nicht vergessen
12.02.2006, 21:54	Ace Piet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von Betrag von cos(x) Der Haken für $\begin{eqnarray} \mid f(x) \mid \end{eqnarray}$ war von jeher bei diff.barem f(x) die Untersuchung an den Schnittstellen x, wo f(x) das Vorzeichen wechselt (zwischendurch passiert ja nix). - Und die Untersuchung an dieser Schnittstelle wird sinnvollerweise sein, ob beide Äste von f'... 1. dort definiert sind 2. Von links und rechts gg. den def.Punkt konv. sind HTH ____________ PS.: kurz: Du musst die Funktion aufspalten. - Etwa: So ein $\begin{eqnarray} f(x):= cos (x) \end{eqnarray}$ wiederholt sich alle $\begin{eqnarray} 2 \cdot \pi \end{eqnarray}$ -Male, also beschränkt sich die Untersuchung auf das abgeschlossene Intervall *[0; $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ ], also auch incl. der Randstellen 0 und $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$* . (Aufspaltung) $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ wechselt hier sein Vorzeichen bei $\begin{eqnarray} x= \frac{\pi}{2} \text{ und } \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray}$ , Du beobachtest die Geschichte durch Zeichnen von f und beobachtest den Knick an den genannten Stellen für $\begin{eqnarray} \mid f(x) \mid \end{eqnarray}$ argwöhnisch. (1) - Für $\begin{eqnarray} x \in [0; \frac{\pi}{2}] \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f(x) \geq 0 \end{eqnarray}$ , ergo $\begin{eqnarray} \mid f(x) \mid = f(x) \end{eqnarray}$ (!) und daher $\begin{eqnarray} \mid f(x) \mid '= f'(x) = -sin(x) \end{eqnarray}$ (2) - Für $\begin{eqnarray} x \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f(x) < 0 \end{eqnarray}$ , ergo $\begin{eqnarray} \mid f(x) \mid = -f(x) \end{eqnarray}$ und daher $\begin{eqnarray} \mid f(x) \mid '= -f'(x) = +sin(x) \end{eqnarray}$ (3) - Für $\begin{eqnarray} x \in [\frac{3\pi}{2}); 2 \pi] \end{eqnarray}$ ist (wieder) $\begin{eqnarray} f(x) \geq 0 \end{eqnarray}$ , ergo $\begin{eqnarray} \mid f(x) \mid = f(x) \end{eqnarray}$ und daher $\begin{eqnarray} \mid f(x) \mid '= f'(x) = -sin(x) \end{eqnarray}$ (siehe oben). Im Inneren der Intervalle passiert nix. - An den Grenzen jedoch sollte man stets von links und von rechts kucken: ---L--- $\begin{eqnarray} lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} {\mid f(x)\mid}' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} {f'(x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} {-sin (x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = - lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} {sin (x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = - 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = - sin (\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \mid cos (\frac{\pi}{2})\mid ' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \mid f'(\frac{\pi}{2})\mid \end{eqnarray}$ Nun stelle analog fest... ---R--- $\begin{eqnarray} lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} {\mid f(x)\mid}' \end{eqnarray}$ ... = +1 <---- urgghh ... $\begin{eqnarray} \neq \mid f'(\frac{\pi}{2})\mid \end{eqnarray}$ D.h. bei $\begin{eqnarray} x = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mid f \mid \end{eqnarray}$ nicht (stetig) diff.bar (von links + von rechts verschiedene Steigungen). ähhmm - Lebbe geht weiter bei $\begin{eqnarray} x = \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray}$ wiederholt sich das Spiel (ohne Vorlage). Hoffe geht klar?! Und ja, es ist unbequem und schreibaufwendig. Und nein, jede Zeile enthält Terme, die man nicht verheimlichen sollten. - L-Grenz = R-Grenz = vorh.Wert ist die Devise. Ansonsten ist $\begin{eqnarray} \mid f \mid \end{eqnarray}$ diff.bar, aber eben nicht stetig diff.bar, wie gezeigt.

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