Windungszahl (Funktionentheorie)

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michi_m Auf diesen Beitrag antworten »
Windungszahl (Funktionentheorie)
Hallo

Ich habe die Aufgabe die Windungzahl für folgendes zu berechnen:

Seien und gegeben durch:




Nun, die Windungszahl ist ja gegeben durch:



So, meine Rechnung und Idee: Das Kurvenintegral ist ja additiv, d.h ich kann das in zwei Integral aufteilen. Wenn ich die erste Kurve als und die zweite als definiere, dann ist zu berechnen:



So, wenn ich die Kurvenintegrale in der Klammer berechne, dann komm ich insgesamt auf die Windungszahl 0. Speziell wäre das auch unabhängig von m und n. Kann mir das jemand bestätigen? Wenn's falsch ist, könnte ich die Rechnung mal aufschreiben

vielen Dank schonmal
Gruß
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Windungszahl wird zumindest auch noch von a abhängen. Ich nehme mal an, es kommt dadurch 0 raus, daß du irgendwo implizit angenommen hast, daß a "außerhalb" beider Teilkurven liegt.

Hast du denn eine anschauliche Vorstellung davon, wie die Kurve verläuft? Wenn du die hast, kannst du dein errechnetes Ergebnis ja mit deiner anschaulichen Vorstellung von der Windungszahl vergleichen.
michi_m Auf diesen Beitrag antworten »

hm, also anschaulich kann ich mir das jetzt nicht so gut vorstellen. Das a ist bei der Integration durch Substitution immer weggefallen nach dem Haupsatz der Integralrechnung verwirrt
michi_m Auf diesen Beitrag antworten »

arg, sorry für den Doppelpost. Aber es gilt bei der Aufgabe:



Also a ist kein Element des Bildbereichs. Erklärt das den Wegfall?

bzw ist das Ergebnis 0 überhaupt so korrekt?
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, diese Forderung ist nur dazu da, daß das Integral überhaupt existiert.

Es gibt trotzdem noch verschiedene "Lagemöglichkeiten" von a relativ zu der Kurve. Das Ergebnis 0 stimmt imho nur für eine davon. Andere mögliche Ergebnisse dürften m und m+n sein, wenn ich das so schnell richtig überblicke.
michi_m Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Windungszahl (Funktionentheorie)
Also dann mal die Rechnung. Zu Berechnen:







So, wenn ich die Nenner substituiere, dann komme ich auf eine Stammfunktion mit dem Logarithmus, wo die Terme aber wegfallen und das Ergebnis 0 ist?

Wo steckt mein Fehler?
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Vorsicht mit dem komplexen Logarithmus!
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Der Logarithmus ist nicht das Hauptproblem. Diese Substitution darfst du so gar nicht machen. Wenn überhaupt mußt du erst durch Trennung in Real- und Imaginärteil reelle Integrale draus machen.
michi_m Auf diesen Beitrag antworten »

und wie kann ich da am besten weiter verfahren?
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du denn wirklcih über diesen Weg gehen willst:



Damit die Integrale in Real- und Imaginärteil aufdröseln und einzeln lösen. Da ich den Kurs nicht kenne, den du besuchst, kann ich dir leider uach nicht sagen, ob es irgendwie kürzer und elegant geht.

Edit: Naja genaugenommen sind solche Probleme wie bei der Definition des komplexen Logarithmus auftauchen auch genau der Grund, warum die substitutionsformel nicht wie im reellen funktioniert. Also ist schon auch der Logarithmus schuld Freude
michi_m Auf diesen Beitrag antworten »

oje, das werden dann aber sehr hässliche Integrale.

Kennt vielleicht jemand einen eleganteren Weg? Also ich kann mir nach dem bisher in der Vorlesung gemachten nicht vorstellen, dass man diese Weg einschlagen muss
michi_m Auf diesen Beitrag antworten »

oje, da ab ich im Skript wohl echt was überlesen. Die Integrale, die zu lösen sind, sind explizit gegeben nach einer langen Rechnung im Skript. Die Kurven sind Spezialfälle.

Insgesamt kommt in der Tat m+n raus smile
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Nur wenn a im Inneren beider Kurventeile liegt.
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