Kugelfläche/Volumen im R^n

30.05.2008, 11:37	bishop	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugelfläche/Volumen im R^n hallo alle zusammen, Mich beschäftigt in letzter Zeit die Frage wie groß die Fläche bzw das Volumen von Kugeln im n-Dimensionalen Euklidischen Raum ist. Ich kann mir ja immer eine Kugel definieren der Art: Eine Kugel im R^n mit Radius d ist die Menge aller Vektoren für die gilt: $\begin{eqnarray} d\leq\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2....+x_n^2} \end{eqnarray}$ Das Problem ist, dass man im zwei und dreidimensionalen Polarkoordinaten benutzen kann um schnell auf die Fläche bzw das Volumen zu kommen. Ich habe keine Idee wie man das im Höherdimensionalen macht. Genauer interessiert mich die Frage wie die Folge der Koeffizienten aussieht, die die Oberfläche solcher Kugeln beschreiben. Im R^n geht ja das ja mit $\begin{eqnarray} d^{n-1} \end{eqnarray}$ , die ersten zwei Glieder sind ja $\begin{eqnarray} a_2=2\pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_3=4\pi \end{eqnarray}$ Für das Volumen findet man analog $\begin{eqnarray} a_2=\pi~~a_3=\pi\frac{4}{3} \end{eqnarray}$ hoffe mein Anliegen ist halbwegs verständlich, vielleicht kann mir hier einer helfen. gruß bishop
30.05.2008, 11:51	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
http://de.wikipedia.org/wiki/Kugel#Verallgemeinerung Wenn du höhere Koeffizienten berechnen willst, ohne tiefere Kenntnisse über die Gammafunktion zu haben, würde das wohl am einfachsten gehen, indem du aus der dort angegebenen Gleichung eine Rekursionsbeziehung zwischen den Oberflächen im R^n und R^n-1 aufstellst, und dann einen Koeffizienten nach dem anderen berechnest. Gegebenenfalls halt mit einem Computerprogramm, falls du a_10000 oder so haben willst.
30.05.2008, 12:06	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
gleichverteilung auf kreisrand
30.05.2008, 12:28	bishop	Auf diesen Beitrag antworten »
aah danke schön, das bringt mich durchaus weiter Jetzt stellt sich mir die Frage nach der Konvergenz für die Koeffizienten des Volumens Ich kann doch für große d abschätzen $\begin{eqnarray} a_n\leq\frac{\pi^n}{n!} \end{eqnarray}$ Und das geht ja gegen Null. Das würde doch bedeutet, das beim festgehalenen Radius das Volumen bei höheren Dimensionen schrumpft und sogar gegen null geht, sehe ich das richtig?
30.05.2008, 12:30	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein nicht immer, du hast ja noch ein r^n drinstehen. Aber du hast insofern recht, daß das Verhältnis der Volumina von Einheitskugel und Einheitswürfel mit steigender Dimension sehr schnell immer kleiner wird. (In der Statistik bezeichnet man die durch diesen Effekt verursachten Schwierigkeiten gerne als "curse of dimensions")

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