Beweis gesucht

13.02.2006, 00:00	munich	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis gesucht Hi, ich komme beim Beweis des folgenden Ausdrucks nicht weiter. $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray}$ Ich dachte mir, dass ich auf beiden seiten der obigen Gleichung 1 Abziehen könnte und das ganze somit zur Untersuchung einer Nullfolge vereinfachen könnte: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} -1 = 1 - 1 =0 \end{eqnarray}$ Ich habe schon versucht den Quotienten aus $\begin{eqnarray} (n+1)^{\frac{1}{n+1}} - 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n^{\frac{1}{n}} - 1 \end{eqnarray}$ zu bilden und damit nachzuweisen, dass obige Folge eine Nullfolge ist, da der Betrag des Quotienten für $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} < 1 \end{eqnarray}$ sein sollte. Bin ich mit dieser Idee komplett auf dem Holzweg ? Wäre toll, wenn ihr mir ein paar Tips geben könntet !!! Vielen Dank !!!!!!!!!!
13.02.2006, 01:22	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst zeigen, dass zu jedem $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ existiert, sodass für alle $\begin{eqnarray} n>n_0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{n}-1<\varepsilon \Leftrightarrow n < (1+\varepsilon)^n \end{eqnarray}$ Überleg dir doch mal, warum das funktionieren muss. Und schätze über den binomischen Satz ab.
13.02.2006, 13:26	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
@4cid: mach das doch bitte mal eben, ich möchte gerne sehen, wie du das aufschreibst, damir nicht kalr wird, was du mit abschätzung meintest. gruß dennis
13.02.2006, 13:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@brunsi Ganz einfach: Man schätzt das über das zweite (also quadratische) Glied der binomischen Entwicklung ab. D.h., für alle $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (1+\varepsilon)^n = \sum_{k=0}^n ~ {n \choose k} \varepsilon^k \geq {n \choose 2} \varepsilon^2 = \frac{n(n-1)}{2} \varepsilon^2 \end{eqnarray}$ . Jetzt ist es hinreichend zu zeigen, dass bei festem $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} \frac{n(n-1)}{2} \varepsilon^2 > n \end{eqnarray}$ für genügend große $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gilt. Und das sollte nicht das Problem sein.
13.02.2006, 16:44	munich	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für die Hilfe, mir ist da vielleicht noch eine andere Möglichkeit eingefallen, was haltet ihr davon ? $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{n} = (n)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ Unter berücksichtigung von $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray}$ strebt die Potenz des obigen Ausdrucks ja gegen 0 und somit der Ausdruck gegen 1, da ja jede Zahl hoch null 1 ergibt. Könnte ich das auch als Beweis anführen oder habe ich einen Fehler gemacht ? Danke !!!!!
13.02.2006, 17:01	Marcyman	Auf diesen Beitrag antworten »
Nene, so leicht ist es leider nicht. Wenn man so argumentiert ist auch $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n})^n=1 \end{eqnarray}$ . Mit dem kleinen Trick kannst du aber ähnlich argumentieren. Schreibe $\begin{eqnarray} n^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{1}{n}ln(n)} \end{eqnarray}$ . Hier kannst du jetzt mit dem Argument Exponent --> 0 => Term --> 1 kommen, aber eben nur weil die Basis fest ist.
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