komplexe Fourierkoeffizienten

13.02.2006, 11:58

poiz

komplexe Fourierkoeffizienten

Folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten:

Berechnen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten von

$\begin{eqnarray*} s(t):=\cos(t)^{2}+5*\cos(t)*sin(t)^{2} \end{eqnarray*}$

mittels der Eulerformeln für Sinus und Cosinus.
----------------------------------------------

Zuerst hab ich die Funkiton umgeformt:

$\begin{eqnarray*} s(t):=\cos(t)^{2}+5*\cos(t)-5*\cos(t)^{3} \end{eqnarray*}$

Eulerformeln "eingesetzt":

$\begin{eqnarray*} \cos(t)^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}(e^{2it} + e^{-2it}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5*\cos(t) = \frac{5}{2}(e^{it} + e^{-it}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5*\cos(t)^{3} = \frac{5}{8}(e^{3it} + 3e^{2it-it} + 3e^{it-2it} + e^{-3it}) \end{eqnarray*}$

Doch wie berechne ich nun die komplexen Fourierkoeffizienten $\begin{eqnarray*} c_{k} \end{eqnarray*}$ ?

15.02.2006, 15:58

phi

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Bei der Umwandlung des Sinus hast du das i bei 1/2i vergessen.Zur Kontrolle: Insgesamt muss rauskommen:

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{1}{4} (e^{it}+e^{-it})+\frac{5(e^{it}+e^{-it})(e^{it}- e^{-it})^2}{8i^2} \end{eqnarray*}$

Hattet ihr nicht die Formel zur Koeffizientenberechnung aufgeschrieben? :

$\begin{eqnarray*} c_k:= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}~f(t)e^{-ikt}~dt \end{eqnarray*}$

Oder hakts mehr an der Durchführung?

15.02.2006, 19:49

poiz

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Hallo!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{1}{4} (e^{it}+e^{-it})+\frac{5(e^{it}+e^{-it})(e^{it}- e^{-it})^2}{8i^2} \end{eqnarray*}$

Ist es nicht:

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{1}{4} (e^{it}+e^{-it})^2+\frac{5(e^{it}+e^{-it})(e^{it}- e^{-it})^2}{8i^2} \end{eqnarray*}$

??

Die Formel zur Koeffizientenberechnung habe ich notiert. Ich hab' mal *begonnen* das Integral zu lösen. Doch wenn ich mir die Lösungen anschaue, sieht es nicht so aus, als wäre ich auf dem richtigen Weg. Auch hat der Dozent in seinem "Lösungsweg" ruck-zuck irgendwie alles gekürzt verwirrt

Es hakt wohl an der Durchführung... Hast du mir dazu einen Tipp?

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