Minimalpolynom bestimmen

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milkakuh Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom bestimmen
Hi Ihr,

ich hab mal wieder ein Problem.
Und zwar soll ich das Minimalpolynom zu einer Matrix bestimmen.
Das charakteristische Polynom hab ich bereits berechnet, weiß ich auch wie funktioniert. Nur wie kriege ich jetzt daraus dsa Minimalpolynom ?

Das charakteristische Polynom welches ich berechnet habe lautet:



und die Matrix A lautet:



ich hoffe es kann mir einer helfen !?!?

Gruß
Jessica
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das char. Polynom hat den Grad 4. Es gilt :

Sei das minimal Polynom



und



Jetzt Probierste einfach durch. Dadurch, dass das Minimalpolynom ein Teiler des char. Polynoms ist musst Du nur



für durch probieren. Das Polynom für das ab am kleinsten ist ist das Minimalpolynom. Alternativ könntest Du die Matrix auf Jordannormalform bringen und das char. Polynom des größten Jordanblocks bestimmen Big Laugh . Denk dran es für das Minimalpolynom gilt

milkakuh Auf diesen Beitrag antworten »

ok, das mit der alternativen Methode lass ich mal (keine Ahnung wat dat sein soll *gg*)

also probier ich einfach die vier Möglichkeiten durch dies ist gibt (?), die dann lauten würden:

,
,
und


korrekt ?

Nur was mach ich dann damit, muss ich die gleich null setzten und gucken wo als erstes die Nullmatrix rauskommt ?
Bzw. was muss ich denn überhaupt für X einsetzen bzw. für die Konstante in dem Fall die eins ? Ist die Konstante wieder mit E := Einheitsmatrix ?

Danke, aber schonmal für Deine Hilfe auf Dich ist immer verlass *g*
Gruß Jessica
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du setzt einfach für X die Matrix A ein und guckst obs Null wird oder nicht. Und wie gesagt wenn Du ne Matrix einsetzt muss ja

A + c

für eine Konstante c auch definiert sein. Deshalb wieder die Einheitsmatrix ran.

edit

Es fehlen übrigens

(x +1),(x+1)²

und

(x -1),(x-1)²
milkakuh Auf diesen Beitrag antworten »

mhm.. also ich hab es mal versucht durchzurechnen, hab für das Minimalpolynom eine Musterlösung nur dat kommt absolut nicht hin.

Hab als Lösung (aus der Musterlösung einer alten Klausur):


demnach müsste ich also:
setzen, nur wenn ich für X die Matrix
einsetze komm ich nicht an die Nullmatrix, ich hab jetzt also ma durchgerechnet:





da kommt einfach nicht die Nullmatrix raus.
Was mach ich denn falsch ?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kriegs auch nicht raus. Vielleicht hab ich mich auch verrechnet. Wenn ich aber richtig gerechnet habe so ist das Ding da nicht das Minimalpolynom.
 
 
milkakuh Auf diesen Beitrag antworten »

ja gut, dann hoffe ich es ist wirklich richtig, aber ich vertrau da ganz in Dich Augenzwinkern

Wird dat wohl ein Fehler in der Musterlösung der alten Klausur sein, keine Ahnung.

Danke !!!
Gruß Jessica
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