n-te Ableitung

30.05.2008, 18:53

Rare676

n-te Ableitung

Ist es möglich die n-te Ableitung des Sinus als $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=... \end{eqnarray*}$ darzustellen?

Dafür bräuchte man ja ein Vorzeichen, dass jede 2 Ableitungen wechselt. Ist dies überhaupt möglich? Alternierend kenne ich, hilft aber nicht, weil es ja jedes Mal wechselt. Gibt es über haupt "doppelt alternierend"?

Da der Kosinus auch in den Ableitungen vorkommt, hatte ich, wenn es überhaupt geht, an die Form:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)= a \cdot \sin(\alpha)+ b \cdot \cos(\beta) \end{eqnarray*}$ gedacht,

wobei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die Vorzeichen bestimmen und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ bestimmen, wann ein Summand wegfällt, jeweils in Abhängigkeit von dem Grad der Ableitung.
Also müsste man in $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ vielleicht auch noch die Periodizität unterbringen.

Jetzt hatte ich mir darüber diese Gedanken gemacht und wollte einfach mal wissen, ob dies überhaupt möglich ist?

Danke für Ideen oder Erklärungen, auch wenns nicht geht Augenzwinkern

mfg Rare676

Edit: Natürlich ist es nicht schwer die Ableitungen einfach gerade zu bilden, mich interressiert aber, ob man es auch so darstellen kann.

30.05.2008, 18:59

Dual Space

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RE: n-te Ableitung
Um welche Funktion geht es denn eigentlich?

30.05.2008, 19:01

Rare676

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RE: n-te Ableitung

Zitat:

Original von Dual Space
Um welche Funktion geht es denn eigentlich?

Zitat:

n-te Ableitung des Sinus

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

30.05.2008, 19:30

tmo

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Ich weiß nicht ob es dich zufriedenstellt, aber $\begin{eqnarray*} (-1)^{\lceil \frac{n}{2} \rceil} \end{eqnarray*}$ wäre eine Möglichkeit $\begin{eqnarray*} 4m+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4m+2 \end{eqnarray*}$ auf -1 und $\begin{eqnarray*} 4m+3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4m \end{eqnarray*}$ auf 1 abzubilden.

PS: Aber irgendwie ist das doch eh nur Spielerei. Die Schreibweise mit der Fallunterscheidung macht das ganze doch viel deutlicher und unkomplizierter Augenzwinkern

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