Punktuelle Änderungsrate |
| 13.02.2006, 15:39 | Mathe Noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Punktuelle Änderungsrate Zur festlegung des Begriffs Verkehrsdichte an einer Stelle der Autobahn denken wir uns zu einem bestimmten Zeitpunkt die Anzahl der Autos bestimmt, die sich vom Beginn der Autobahn bis zur Stelle x auf der Autobahn befinden. Diese Anzahl soll mit V(x) bezeichnet werden. x->V(x) ist dann eine Funktion. Wir betrachten ein Autobahnstück ohne Abfahrten. a) Bestimme die Anzahl der Autos, die sich zwischen den Stellen x und x+h befinden. Mein Ansatz: Habe mir denn gedacht, da ja eine momentane Änderungsrate so aussieht: F(x+h)-f(x0)/h, dass x0= V(x) ist und x V(x)+h. So, habe denn mal probiert was hinzukriegen was so ausschaut: V*(V(x)+h)-(V*V(x))/h ---> V²(x)+V(h)-V²(x)/h -----> V(h)/h. Da, das aber irgendwie unlogisch für mich erscheint und das sehr wahrscheinlich falsch ist und ich nicht weiter weiß, frage ich mal hier! Danke schonmal an alle die mir helfen werden! Gruß |
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| 13.02.2006, 17:02 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Punktuelle Änderungsrate
Das hat mit einer Änderungsrate überhaupt nichts zu tun. Die Anzahl der Autos von 0 bis x+h ist V(x+h), die von 0 bis x ist V(x), wie viele Autos sind es dann wohl von x bis x+h? |
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| 13.02.2006, 17:10 | Mathe Noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
V(x)+V(h)-V(x)--->V(h) autos oder wie? |
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| 13.02.2006, 17:33 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein. Das wäre nur so, wenn V(x+h) = V(x) + V(h), aber darüber wissen wir nichts. |
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| 13.02.2006, 17:53 | mathe noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wie soll man denn sonst V(x+h)-V(x) rechnen? x+h+x also 2x+h? |
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| 13.02.2006, 19:20 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Einfach V(x+h)-V(x). Das ist, was gefragt ist, und mehr kann man ohne nähere Kenntnis von V auch nicht sagen. |
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| 13.02.2006, 19:38 | Mathe Noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
cool, okay alles klar! aber denn wären da noch 2 weitere aufgabenteile die ich nicht in der lage bin zu lösen: b) bestimme die durchschnittliche Verkehrsdichte (Anzahl der Autos pro Längeneinheit) zwischen den Stellen xund x+h. Ist es diesmal eine Änderungsrate? mit lim h-->0? c) Wie ist die punktuelle Verkehrsdichte an der Stelle x zu definieren? Welche Idealisierung muss die Funktionswerte von x-->V(x) vorgenommen werden? Bei der c weiß ich null komma nichts! kein ansatz oder ähnliches, bei der b würde ich jetzt nach den neuen stand der dinge meine alte lösung vorschlagen vielen dank schonmal! gruß |
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| 13.02.2006, 19:45 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es ist die durchschnittliche Änderungsrate, ohne Limes. Genauso wie die Durchschnittsgeschwindigkeit ist (Strecke , die in einem Zeitabschnitt zurückgelegt wurde), ist die durchschnittliche Verkehrsichte , also Änderung der Autoanzahl auf einem bestimmten Streckenabschnitt der Länge . Das musst du nur noch mit V, x und h ausdrücken.
Hier kannst du dann deinen Limes verwenden, den du die ganze Zeit anbringen willst. |
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| 13.02.2006, 20:00 | Mathe Noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wäre die denn V(x+h)-V(x)/h? weil delta V ist ja die durchschnittliche Anzahl der Autos (nehme ich jetzt an) und dies wäre ja, wie vorher ausgerechnet V(x+h)-V(x). Delta x wäre jetzt ja x+h-x und somit h. Ich fürchte ich irre komplett....
So wie ich ihn hatte oder mit Veränderungen, verstehe nämlich die Aufagbe nicht... vielen dank schonmal, hast mir sehr weitergeholfen, aber hoffentlich bis zum schluss 
gruß |
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| 13.02.2006, 20:14 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, gar nicht. Du musst nur Klammern setzen: (V(x+h)-V(x))/h.
Was du da oben hattest, war etwas konfus. Eigentlich geht es nur darum, den Limes noch vorne dranzuschreiben: . Näher bestimmen können wir diesen Term ohne weiteres Wissen über V wieder nicht. Das Prinzip ist das Folgende: Wenn man die durchschnittliche Verkehrsdichte bestimmt, indem man die Anzahl der Autos pro bestimmtem Streckenabschnitt zählt, dann kann es sein, dass innerhalb dieses Streckenabschnitts in der ersten Hälfte sehr viele Autos stehen und in der zweiten sehr wenige, man erhält aber nur einen Mittelwert. Interessant ist deshalb auch die punktuelle Verkehrsdichte: Man macht mittels Grenzwertbildung den Streckenabschnitt unendlich klein und umget somit das Problem der Mittelwertbildung. Welche Idealisierung man da im Falle von Autos anwendet, kannst du dir jetzt ja selbst überlegen. |
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| 13.02.2006, 20:23 | Mathe Noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Durch die Funktion x-->V(x), wird doch schon dem Punkt x die Anzahl V(x) zugeordnet! Weiß ehrlich nicht, was für eine Idealiserung stattfinden soll. Müsste sich denn h anstelle von 0 unendlich annähern? Damit man nicht eine bestimmte Stelle, sondern sogesehen unendlich Stellen bestimmen kann? gruß |
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| 13.02.2006, 20:28 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es geht jetzt nicht um die Anzahl der Autos bis zu einer bestimmten Stelle x, das wäre V(x). Es geht um die Verkehrsdichte an einem bestimmten Punkt x. Um die Verkehrsdichte auf einem bestimmten Abschnitt von x bis x+h zu bestimmen zählt man die Autos auf dieser Strecke (V(x+h)-V(x)) und dividiert sie durch die Länge der Strecke (h). Um die Verkehrsdichte in einem Punkt (nicht in einem Abschnitt) zu bestimmen, lässt man h nun gegen null laufen. In der Realität stößt man dabei natürlich auf ein Problem -- auf welches? |
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| 13.02.2006, 20:31 | Mathe Noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
es passt nicht mehr als 1 auto in den Punkt x? |
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| 13.02.2006, 20:33 | Mathe Noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ah ne halt"! wenn h gegen 0 läuft müsste man ja (V(x+h)-V(x))/0 rechnen, durch 0 kann man nicht dividieren, also würde es in der realität n massencrash geben wenn ich das jetzt richtig kombiniere. Somit darf sich h nicht 0 annähern |
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| 13.02.2006, 20:41 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das hat schon viel Richtiges. Um genau zu sein, passt überhaupt kein Auto in einen Punkt. Wenn man den Grenzwert gegen null bildet, geht man davon aus, dass die Autos eine Länge von Null haben, denn die Bestimmung der Änderungsrate in Abschnitten, die kleiner als eine Autolänge sind, ergibt natürlich überhaupt keinen Sinn.
Das ist so nicht richtig, denn was du übersiehst, ist dass der Zähler auch gegen Null geht (schließlich werden es mit geringerer Abschnittsgröße auch weniger Autos). Wenn man den Grenzwert bildet, kann sich so auch ein "Gleichgewicht" einstellen. Man setzt ja nicht einfach Null für h ein (wie du bemerkt hast, geht das nicht), sondern man nähert nur immer weiter der Null an. |
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| 13.02.2006, 20:49 | Mathe Noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das versteh ich schon, deshlab denke ich, dass sich denn h der länge der autos annähert, oder deren anzahl: Das wäre lim h--->V(x), weil länge haben wir ja nicht gegeben. Aber h könnte sich auch x annähern, könnte aber wüsste nicht wieso. argh ich checks einfach nicht 
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| 13.02.2006, 21:10 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich verstehe kein Wort... Ich mache es einmal grafisch: Das rote ist ein Beispiel für V(x), ich bestimme zunächst die Verkehrsdichte auf dem Abschnitt [1, 4]. Die Steigung der grünen Gerade gibt diese an, denn diese beträgt . Es ist hier also x=1 und h=2. Jetzt läuft h immer mehr gegen null: ... und erreicht es schließlich: Das ist, was bei der Grenzwertbildung geschieht: Man erreicht eine immer genauere Änderungsrate (d.h. hier Verkehrsdichte), indem man h gegen null laufen lässt. Das Problem mit der Realität ist: Echte V(x) sind nicht so rund, sondern haben Stufen, nämlich dort, wo ein neues Auto beginnt. Hier sind unendlich viele Stufen hintereinander, weil angenommen wird, dass die Autos die Länge 0 haben. |
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| 13.02.2006, 21:20 | Mathe Noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hehe du hast jetzt mit einem Post geschafft, dass ich die grenzwertbildung verstehe, hat mein mathelehrer in 10 stunden nicht geschafft...
Aber was geschieht nun mit der Funktion x--->V(x) damit diese idealisiert wird? x-->V(x)+abstand zum nächsten auto? weil dadurch würden ja die stufen verschwinden, wenn man diese berücksichtigt. gruß! oh man ich hoffe ich raff das bald 
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| 13.02.2006, 21:39 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Funktion V(x), so wie du sie in den Plots oben siehst, ist die ideale Annahme, schön rund, weil Autos eine Länge von Null haben, ergibt die Grenzwertbildung überhaupt einen Sinn. Grafisch dargestellt: An waagerechten Stellen einer solchen Treppenfunktion ist die Steigung immer 0. An diesen "Ecken" sind unendlich viele Steigungen möglich. Einen Grenzwert, so wie wir das in unserem Verkehrsdichte-Modell gerne hätten, findet man bei einer solchen Funktion nicht.
Das ist Unsinn, weil V(x) eine Anzahl von Autos angibt, und du zu einer Anzahl von Autos einen Abstand addieren willst. Das ist wie 12 Meter zu 8 Sekunden zu addieren.
Der Konflikt zwischen Modell mit Grenzwertbildung und der realen Welt lässt sich nicht auflösen. |
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| 13.02.2006, 21:51 | Mathe Noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aber irgendwas muss ja idealisiert werden, laut der Aufgabe. Also wie ich dich jetzt verstanden habe, müsste man die Anzahl der Autos V(x) ersetzen durch deren Länge+Abstand zur nächsten Länge, welche wiederrum immer ein Auto ist bzw. durch irgendetwas? Die Frage der Idealisierung der Funktionswerte von x-->V(x) bezieht sich doch auf die punktuelle Verkehrsdichte. Wäre die Antwort ganz einfach, dass V(x) bereits idealisiert ist da bei einem Idealfall h-->0?? wenn mein lehrer mir nicht direkt ne schlechtere Note für fehlende Aufgabenteile geben würde, auch wenn man diese nicht versteht, würde ich den morgen fragen, aber das will ich eigentich vermeiden. |
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| 13.02.2006, 21:54 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie ich schon mehrfach gesagt habe: Die Idealisierung besteht in der Annahme, Autos hätten die Länge 0. Nur dann ergibt eine Grenzwertuntersuchung Sinn, denn sonst hätte V(x) Treppenform und da ist kein Grenzwert für h gegen 0 zu finden. |
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| 13.02.2006, 21:59 | Mathe Noob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Wald und die Bäume... oh man das ist doch eigentlich total logisch! Oh man das regt mich jetzt echt auf....argh naja, aber jetzt ist alles klar und ich habs auch verstanden! vielen vielen dank 
ohne dich wär ich hilflos gewesen!gruß! |
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