LGS und Rang

13.02.2006, 18:10

thec

LGS und Rang

Ich soll prüfen, ob folgendes LGS lösbar ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}x_1 + 2x_2 = 0\\2x_1 + 4x_3 = 0\\x_1 + 2x_2 - x_3 = 1\\2x_1 - x_2 + x_3 = 0\\\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Das LGS ist nicht lösbar. Mir wurde allerdings gesagt, dass ich vorher eine Rangbestimmung machen soll.
Wenn ich jetzt die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
umforme, komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -16 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Rang der Matrix ist also 4. Ist es nicht normalerweise so, dass man die Rangbestimmung macht, um zu überprüfen, ob das LGS lösbar ist oder nicht? Das LGS ist nämlich NICHT lösbar. Hätte ich vielleicht die letzte Spalte, also
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ weglassen müssen? Wie bestimme ich denn den Rang einer 4x3 Matrix? Genauso wie den Rang einer 4x4 Matrix? Wozu denn überhaupt die Rangbestimmung :/ ?

13.02.2006, 21:21

JochenX

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RE: LGS und Rang

Zitat:

Original von thec
Wenn ich jetzt die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
umforme, komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -16 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Rang der Matrix ist also 4.

dann ist entweder dein LGS lösbar oder du hast falsch umgeformt
hat deine koeffizientenmatrix Rang 4, dann ist sie invertierbar und du bekommst eine eindeutige Lösung

Hinweis: es gilt in einem LGS Ax=b
rang(A)<=rang(A|b) [dabei ist A|b die Matrix A mit der b-spalte rechts angefügt, also eine 4x5-matrix]
dein LGS ist lösbar, wenn dort = steht

14.02.2006, 11:29

thec

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Zitat:

hat deine koeffizientenmatrix Rang 4, dann ist sie invertierbar und du bekommst eine eindeutige Lösung

Und wenn ich den Rang 3 ausbekomme? In einem anderen LGS mit 3 Unbekannten habe ich den Rang 3 raus und für jedes x eine eindeutige Lösung. Was hat das ganze mit Invertierbarkeit zu tun?

Ich verstehe auch nicht, wie man auf eine 4x5 Matrix kommen soll. Ich habe doch im Grunde eine 4x3-Matrix, bei der ich das Ergebnis (das dürfte doch b sein) noch dranhänge, also 4x4. Ich habe jetzt nochmal nachgerechnet. Der Rang der Matrix ist definitiv 4 (allerdings muss das Element a22 4 sein, nicht 2). Der Rang der 4x3-Matrix hingegen ist 3.

14.02.2006, 12:13

klarsoweit

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RE: LGS und Rang

Zitat:

Original von LOED
Hinweis: es gilt in einem LGS Ax=b
rang(A)<=rang(A|b) [dabei ist A|b die Matrix A mit der b-spalte rechts angefügt, also eine 4x5-matrix]
dein LGS ist lösbar, wenn dort = steht

A ist doch hier eine 4x3-Matrix. Der Rang von A ist 3 und der Rang von A|b ist 4. Also nicht lösbar.

14.02.2006, 12:24

JochenX

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das war ja schon (A|b), entschuldigung
ich dachte, dass sei bloß die Koeffizientenmatrix und den Lösungsvektor b hättest du noch gar nicht eingefügt

dann gilt hier tatsächlich: rang(A)=3, rang(A|b)=4
=> nicht lösbar

Zitat:

rang(A)<=rang(A|b)
[....]
dein LGS ist lösbar, wenn dort = steht

merks dir so, anwenden musst dus dann selbst
und ich lerne genauer hinzuschauen smile

14.02.2006, 16:32

thec

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Okay, vielen Dank für eure Hilfe smile

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