Neues Problem - orthogonale Projektion

13.02.2006, 18:10

sophie86

Neues Problem - orthogonale Projektion

Hallo liebe Leute,

ich habe eine Aufgabe zu lösen, komme aber hier nicht weiter.
Ich hoffe, hier im Matheboard Hilfe zu finden smile

Aufgabe:

Ebene: $\begin{eqnarray*} E0 = x - 2y + 2z = -1 \end{eqnarray*}$
Gerade: $\begin{eqnarray*} G0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gesucht ist die Gerade h ( h $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ E0 ) welche G0 senkrecht schneidet.

Ich bin nun so vorgegangen, das ich zunächst den Durchstoßpunkt von G0 zu E0 berechnet habe --> (-1, -2. -2). Ich gehe davon aus das G0 senkrecht zu E0 steht, sonst wäre die Aufgabe ja nicht lösbar. Hm..Dann habe ich mir einen Punkt auf der Ebene gesucht --> (-1, 1, 1) und die Gerade h aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} h = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nachrechne muss ich aber feststellen, das der Winkel ziwschen den beiden Gerden nicht 90 Grad ist. Was habe ich den falsch gemacht? Ich komme nicht weiter, bitte helft mir.

13.02.2006, 18:34

Poff

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RE: Gerade-Ebene-Aufgabe

Zitat:

Original von sophie86
Ich gehe davon aus das G0 senkrecht zu E0 steht, sonst wäre die Aufgabe ja nicht lösbar.

diese Annahme ist falsch.

Deine gesuchte Gerade hat (E0n x G0r) als Richtungsvektor und
einen Ebenenpunkt als Aufpunkt.

13.02.2006, 19:56

sophie86

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hi poff,

danke erstmal für die antwort.

dann wäre also die gesuchte $\begin{eqnarray*} h = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber diese gerade schneidet doch G0 nicht senkrecht.

die gesuchte Gerade h soll in der Ebene liegen. und wenn h die gerade G0 senkrecht schneidet, dann scneidet doch G0 auch die Ebene senkrecht. aber der schnittwinkel zwischen G0 und E0 ist ja auch nicht senkrecht. stimmt die aufgabenstellung nicht, oder habe ich einen fehler im denkansatz?

13.02.2006, 20:28

Abakus

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Hallo Sophie,

stelle es dir geometrisch vor. Wenn die Gerade senkrecht auf der Ebene stehen würde, gäbe es in der Ebene unendlich viele solcher Geraden, die die Bedingung erfüllen würden.

Wenn die Gerade die Ebene schief (nicht senkrecht) schneidet, betrachte diejenige Ebene durch deinen Durchstosspunkt, die senkrecht zu deiner Geraden liegt. Nun hast du 2 Ebenen, die genau eine Gerade gemeinsam haben. Dies ist die Lösung.

Oder anders: wenn du eine Gerade in der Ebene durch den Durchstosspunkt drehst, hat diese zur schief stehenden Gerade sowohl Winkel kleiner als auch größer als 90°. Also muss auch der Winkel 90° angenommen werden.

Es gibt also eine eindeutige Lösung. Einen Punkt dieser Geraden hast du schon, den Durchstosspunkt. Fehlt nur noch der Richtungsvektor. Dieser steht senkrecht auf: 1. der Geraden 2. dem Normalenvektor der Ebene (siehe Poff).

(Dein letztes h geht nicht durch den Durchstosspunkt.)

Grüße Abakus smile

13.02.2006, 20:53

riwe

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den aufpunkt der gesuchten geraden hast du ja schon richtig berechnet.
und damit h senkrecht zu g ist und in E (mit dem normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix} 1 \\-2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ) liegt, mußt du als richtungsvektor von h wählen:
$\begin{eqnarray*} \vec{r} =\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -4 \\ 1\\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,
da dieser vektor senkrecht auf die beiden anderen steht.
werner

15.02.2006, 15:39

sophie86

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hi ihr lieben,

danke euch! ich habs verstanden smile

ich hatte einen denkfehler und habe mich festgefahren.

jetzt konnte ich mir erstmal vorstellen wo die gerade liegen soll. plötzlich erscheint es mir auch logisch. das kreuzprodukt des normalenvektors der ebene und des richt.vektors der geraden steht ja senkrecht auf beiden. hm..so einfach gehts eigentlich.

danke. ihr habt mir sehr geholfen!

15.02.2006, 17:52

sophie86

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seit einer weile hänge ich auch an einer anderen teilaufgabe:

thema: orthogonale projektion.

Gesucht ist die Länge d der orthogonale Projektion der Strecke P1P2 auf die Normale von E.

$\begin{eqnarray*} P1 (1, 0, 0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P2 (0, -1, -1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E: x - 2y + 2z = -1 \end{eqnarray*}$

Meine Überlegung:

Ich habe die Normale von E und sehe von da aus senkrecht auf die Strecke. Das Bild was man sieht stelle ich mir 2-dimensional vor und suche dann von dieser Sicht die Länge der Strecke. Lieg ich da richtig?

und wie berechne ich das? etwa durch eine normale projektion, wobei cos $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 0?

könntet ihr mir bitte nochmal helfen? smile

15.02.2006, 21:14

sophie86

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weiss niemand rat?

15.02.2006, 23:31

Ben Sisko

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Zitat:

Original von sophie86
und wie berechne ich das? etwa durch eine normale projektion, wobei cos $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 0?

Edit: Moment, $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=0 \end{eqnarray*}$ ist falsch. Der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{P_1P_2} \end{eqnarray*}$ liegt zwar als Ortsvektor in der Ebene (d.h. der Punkt (-1;-1;-1) ist in der Ebene), aber der Vektor ist nicht parallel zur Ebene. Deswegen muss der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{P_1P_2} \end{eqnarray*}$ nicht orthogonal zur Normalen der Ebene sein (ist er hier nicht).
Ansonsten kannst du hier aber die "normale Projektion" anwenden, wie du es nennst, musst aber vorher deinen Winkel bestimmen.

16.02.2006, 00:20

Abakus

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Meine Idee wäre folgende: du brauchst die Projektion von $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ auf die Ebene, also die beiden Lotfußpunkte.

Nimm dir also 2 linear unabhängige Vektoren, die die Ebene aufspannen, und den Normalenvektor der Ebene. Stelle dann die Ortsvektoren der Punkte als Linearkombination dieser 3 Vektoren dar und lese aus dieser Darstellung die beiden Lotfußpunkte ab.

Grüße Abakus smile

EDIT: Problem missverstanden, ich projeziere auf die Ebene.

16.02.2006, 01:40

Ben Sisko

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Zitat:

Original von sophie86
Gesucht ist die Länge d der orthogonale Projektion der Strecke P1P2 auf die Normale von E.

Ich verstehe das als Projektion auf die Normale, nicht auf die Ebene.

16.02.2006, 11:15

Abakus

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Ich verstehe das als Projektion auf die Normale, nicht auf die Ebene.

Korrekt. Dann hilft folgende Formel: ist $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ein Normaleneinheitsvektor, so gibt $\begin{eqnarray*} ||\vec{p} \cdot \vec{n}|| \cdot \vec{n} \end{eqnarray*}$ die Komponente von $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ an.

Grüße Abakus smile

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