Analysis Klausurfrage( Studium)

13.02.2006, 20:13

k_wolt

Analysis Klausurfrage( Studium)

Zeige: Eine Funktion f: [a, b]--> R , die für alle x,y aus [a,b] der Bedingung

|f(x)-f(y)| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |x-y|

genügt, ist konstant.
Bitte sagt mir, wie ich hier vorgehen muss!!!

Auf diese Frage gibt es 10 Punkte!!

13.02.2006, 20:57

Abakus

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RE: Analysis Klausurfrage( Studium)
Fehlt da noch eine Voraussetzung?

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ erfüllt zB auf [0, 1] die Bedingung, ohne konstant zu sein.

Grüße Abakus smile

13.02.2006, 21:08

k_wolt

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RE: Analysis Klausurfrage( Studium)
nein, eigentlich nicht

13.02.2006, 21:23

Abakus

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RE: Analysis Klausurfrage( Studium)
Offensichtlich ist doch:

$\begin{eqnarray*} |\frac{x}{2} - \frac{y}{2}| \le \frac{1}{2} * |x - y| \le |x - y| \end{eqnarray*}$ .

Demnach lässt sich kein Beweis führen, die Behauptung ist falsch.

Grüße Abakus smile

13.02.2006, 21:26

JochenX

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warum so umständlich, abakus?

da steht <=, nimm also noch einfacher die Identität f(x)=x
dann gilt trivialerweise für alle x,y |f(x)-f(y)|=|x-y|<=|x-y|

mfg Jochen Wink

Zitat:

Auf diese Frage gibt es 10 Punkte!!

der Hinweis ist wichtig, zumal 10 Punkte sehr relativ sind Augenzwinkern

14.02.2006, 15:57

therisen

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Hallo,

aus diesem Thread geht hervor, dass es sich um die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|\leq|x-y|^2 \end{eqnarray*}$

handelt.

Folgendes fällt mir spontan dazu ein, allerdings ohne Gewähr:

Für $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ lässt sich die Ungleichung umschreiben zu $\begin{eqnarray*} \left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| \leq |x-y| \end{eqnarray*}$ .
Führe nun den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x \to y \end{eqnarray*}$ durch.

Gruß, therisen

14.02.2006, 16:28

k_wolt

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Hey therisen, erst einmal danke, aber könntest du vielleicht noch etwas genauer werden?

14.02.2006, 16:30

20_Cent

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wenn es so stimmt, dann steht die lösung doch eigentlich schon da, bilde einfach mal den grenzwert, dann bist du schon fertig.
mfg 20

14.02.2006, 17:18

k_wolt

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warum konvergiert x gegen y?

14.02.2006, 17:30

therisen

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Hi,

setze mal $\begin{eqnarray*} x_0:=y \end{eqnarray*}$ . Dann ergibt sich oben:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right| \leq |x-x_0| \end{eqnarray*}$

Stichwort: Differentiation

Gruß, therisen

14.02.2006, 17:52

k_wolt

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da also x_n gegen x_0 konvergiert, konvergiert also auch f(x_n) gegen f(x_0), also ist der GW gleich f(x_0) ?

14.02.2006, 18:10

therisen

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Wo kommt das $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ her? Ich kann nur erahnen, was du in etwa meinst...

Jedenfalls ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \left| \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|=|f'(x_0)| \end{eqnarray*}$ , falls der Grenzwert existiert.

Gruß, therisen

14.02.2006, 18:12

zeta

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Dreher? abs(f'(x_0) le 0 gemeint?

14.02.2006, 18:16

therisen

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Es hatte sich ein Copy & Paste Fehler eingeschlichen, den ich allerdings schon vor deinem Beitrag wieder verbessert hatte Augenzwinkern

Du warst zwar schnell, aber nicht schnell genug Big Laugh

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