parabel in der Gauss'schen zahlenebene

13.02.2006, 20:13	kommando_pimperlepim	Auf diesen Beitrag antworten »
parabel in der Gauss'schen zahlenebene hallo. ich sitze gerade vor einer aufgabe: stellen sie alle z aus C (kompl.Z.) in der Zahlenebene dar, für die gilt: \|z-i4\|+\|z+i4\|=10 in der aufgabe stand außerdem, dass es eine ellipse sein muss. ich habe z=a+bi geschrieben und möchte die form xa²+yb²=r erhalten nach einigem umformen und mit hilfe von \|f+hi\|=sqrt(f²+h²) erhalte ich folgende aussage: 2(a²+b²+4²) + 2sqrt[ (a²+b²+4²)² - 8²b² ] = 100 aber die letzte wurzel bekomme ich nicht weg. würdet ihr das anders lösen oder ist es hier überhaupt möglich, eine ellipsengleichung zu erhalten? gruß und danke schonmal
13.02.2006, 20:45	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, rechne ruhig weiter, es passt eh .... $\begin{eqnarray} a^2 + b^2 + 16 - 50 = \sqrt{(a^2 + b^2 + 16)^2 - 64b^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a^2 + b^2 + 16)^2 - 100(a^2 + b^2 + 16) + 2500 = (a^2 + b^2 + 16)^2 - 64b^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 100a^2 + 36b^2 + 1600 - 2500 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 100a^2 + 36b^2 = 900 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{a^2}{9} + \frac{b^2}{25} = 1 \end{eqnarray}$ und das kennzeichnet eine Ellipse! Gr mYthos
13.02.2006, 21:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man etwas Kegelschnittgeometrie kann, erkennt man natürlich in $\begin{eqnarray} \| z + 4 \operatorname{i} \| \, + \, \| z - 4 \operatorname{i} \| = 10 \end{eqnarray}$ gleich die einen Ellipsenpunkt kennzeichnende Eigenschaft "Die Summe der Abstände von den zwei Brennpunkten ist konstant" Allgemein: $\begin{eqnarray} d(F_1,X) + d(F_2,X) = 2a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_1,F_2 \end{eqnarray}$ sind die Brennpunkte, $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist ein Ellipsenpunkt und $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ die große Halbachse. Der Mittelpunkt $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ der Strecke $\begin{eqnarray} F_1 F_2 \end{eqnarray}$ ist der Mittelpunkt der Ellipse. Den Abstand eines Brennpunktes von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ bezeichnet man als lineare Exzentrität $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ (das ist natürlich hier nicht die Eulersche Zahl). Ist $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ die kleine Halbachse, so gilt $\begin{eqnarray} e^2 = a^2 - b^2 \end{eqnarray}$ Hier sind $\begin{eqnarray} -4 \operatorname{i} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 4 \operatorname{i} \end{eqnarray}$ die Brennpunkte, also $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ der Mittelpunkt der Ellipse. Wegen $\begin{eqnarray} 2a = 10 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a = 5 \end{eqnarray}$ die große Halbachse und $\begin{eqnarray} e = 4 \end{eqnarray}$ (Abstand von $\begin{eqnarray} \pm 4 \operatorname{i} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ) die lineare Exzentrität. Es folgt: $\begin{eqnarray} b^2 = 5^2 - 4^2 = 3^2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} b = 3 \end{eqnarray}$ . Wenn dir diese Dinge nichts sagen oder du an ihnen nicht speziell interessiert bist, zeigt die Rechnung von mYthos, wie es ganz von alleine richtig herauskommt.

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