Integral - Substitution gesucht?

13.02.2006, 20:40

Flip_01

Integral - Substitution gesucht?

Hi,

ich möchte folgende unbestimmte Integrale lösen (das a, b könnt ihr euch wegdenken):

1) $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~cos^3(x)~dx \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\ x* \sqrt{1+x}~dx \end{eqnarray*}$

Nun habe ich leider zu beiden keine Idee welche Substitution verwendet werden kann.

Vielleicht kann mir jemand von euch weiterhelfen.

Schonmal vielen Dank

edit20: latex verbessert, {...} setzen hinter dem \sqrt.

13.02.2006, 20:48

JochenX

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hinweis latex: "\sqrt" für wurzel, nicht nur "sqrt"

für das erste würde ich partielle integration vorschlagen, (cos)^3=(cos)*(cos)^2

13.02.2006, 21:09

speedyschmidt

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für die 2. könntest du tan^2(z)=x nehmen!

Oder auch nicht! Habs überprüft. Ist sehr schwer!

13.02.2006, 22:10

Flip_01

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Hab es editiert. Danke.

Hm, also mit partieller Integration hab ich es noch nicht probiert. Werd das gleich morgen früh mal testen.

Denke es ist aber auf jeden Fall mittels Substitution zu lösen.

Kann man das zweite vielleicht durch eine Erweiterung und anschließender Substitution besser lösen? Mir fällt bloß keine geeignete Umformung oder Erweiterung ein.

Sonst noch Ideen?

14.02.2006, 02:13

20_Cent

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hmm... vielleicht könnte man beim zweiten mit den sinh substituieren, bin aber nicht ganz sicher, was dann die ableitung und das ersetzen so mit sich bringt.
mfG 20

14.02.2006, 05:58

iammrvip

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RE: Integral - Substitution gesucht?

Zitat:

Original von Flip_01
1) $\begin{eqnarray*} \int\cos^3x~dx \end{eqnarray*}$

Das erste ein bisschen umschrieben, dass isses total einfach:

mit $\begin{eqnarray*} \sin^2x + \cos^2x = 1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \int\cos^3x~dx = \int\cos x\cdot \cos^2x~dx = \int\cos x(1 - \sin^2x)~dx = \int\left(\cos x - \cos x\sin^2x\right)~dx \end{eqnarray*}$

jetzt einfach summandenweise integrieren (beim zweiten mit $\begin{eqnarray*} u = \sin x \end{eqnarray*}$ )

Fertig. smile

14.02.2006, 07:18

riwe

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RE: Integral - Substitution gesucht?
bei 2) $\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{2}=t \end{eqnarray*}$
werner

14.02.2006, 10:40

Flip_01

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@iammrvip:
Super, jetzt seh ich es auch. Hab dann die Form f(h(x))*h'(x).

Zum zweiten Integral:
Hab mich da verschrieben. Sorry für die Leute, die sich schon um eine Lösung bemüht haben. Die erste Wurzel muß weg! Ich hab es oben editiert. Sorry, sorry, sorry,.....................

14.02.2006, 10:49

klarsoweit

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RE: Integral - Substitution gesucht?

Zitat:

Original von Flip_01
2) $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\ x* \sqrt{1+x}~dx \end{eqnarray*}$

Wenn das die richtige Version ist, würde ich es mit der Substitution x = u-1 versuchen.

14.02.2006, 11:49

lego

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mit der substituition $\begin{eqnarray*} u^2=x+1 \end{eqnarray*}$ gehts in 3 zeilen, wenn man groß schreibt smile

14.02.2006, 12:04

klarsoweit

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Also ob deine Variante einfacher ist, wage ich mal zu bezweifeln. Mit meiner Substitution brauche ich 2 Zeilen, wenn man es ganz groß schreibt. Augenzwinkern

14.02.2006, 12:06

Flip_01

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@Klarsoweit:

Ja, die Form stimmt nun endlich.

Habe die Substitution mal probiert. Aber wirklich weiter komme ich nicht. Irgendwas übersehe ich bei der ganzen rechnerei.

Wenn ich substituiere (x = u - 1) erhalte ich folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int~(u-1)*\sqrt{1+u-1} ~du = \int~(u-1)*\sqrt(u)~du = \frac{2}{5} * u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} * u^{\frac{3}{2}}+c \end{eqnarray*}$

Dann u = x + 1 .

Kann man dieses Ergebnis noch weiter umformen? Ich erhalte nämlich immer noch nicht das Ergebnis welches ich mit dem TI Voyage ermittelt habe. Vielleicht ist die Substitution auch nicht geeignet.

@lego:
Habe es mit der von Dir vorgeschlagenen Subs. auch ausprobiert. Komme auf das gleiche Ergebnis wie oben.

Ach, das Ergebnis laut TI Voyage ist: $\begin{eqnarray*} \frac{2*(x+1)^\frac{3}{2}*(3*x-2)}{15} \end{eqnarray*}$

14.02.2006, 12:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von Flip_01
Ach, das Ergebnis laut TI Voyage ist: $\begin{eqnarray*} \frac{2*(x+1)^\frac{2}{3}*(3*x-2)}{15} \end{eqnarray*}$

Das kann so nicht stimmen. Hast du das vom TI richtig abgeschrieben?

Du kannst in $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} * u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} * u^{\frac{3}{2}}+c \end{eqnarray*}$ noch ein Wurzel(u) ausklammern und dann die Re-Substitution machen.

14.02.2006, 13:05

Flip_01

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So müsste es stimmen. "Hoch 3/2". Ansonsten hat es gestimmt.

Habe den Ti nochmals überprüft und vorsorglich alle Variablen zurückgestzt. Ergebnis wird weiterhin so ausgegeben wie in meinem Beitrag zuvor.

Womöglich ist es nicht die geeignete Substitution. Ich bin auf dem Gebiet auch nicht so bewandert, dass mir da noch etwas weiteres einfallen könnte.

14.02.2006, 13:34

klarsoweit

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So ein TI kann einen auch ganz schön verwirren. Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{2u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3} = \sqrt{u} \cdot (\frac{2u^2}{5} - \frac{2u}{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{x+1} \cdot (\frac{2(x+1)^2}{5} - \frac{2(x+1)}{3}) = \sqrt{x+1} \cdot (\frac{2x^2+4x+2}{5} - \frac{2x+2)}{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{x+1} \cdot \frac{6x^2+12x+6-10x-10}{15} = \sqrt{x+1} \cdot \frac{6x \cdot (x+1)-4x-4}{15} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{x+1} \cdot \frac{(x+1) \cdot (6x-4)}{15} = \frac{(x+1)^{\frac{3}{2}} \cdot 2(3x-2)}{15} \end{eqnarray*}$

14.02.2006, 14:17

Flip_01

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Vielen vielen Dank.

Ich hätte noch eine Frage:
Wie kommt man auf so eine Substitution? Macht das die Erfahrung beim Integrallösen oder gibt es dafür generell Tips?

14.02.2006, 17:23

lego

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seid mir nicht böse aber, dass meine lösung umständlicher sein soll ist ein gerücht.

$\begin{eqnarray*} \int~x*\sqrt{x+1}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u^2=x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2u du= dx \end{eqnarray*}$

somit
$\begin{eqnarray*} \int~(u^2-1)*u*2u~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2*\int~u^4-u^2~du \end{eqnarray*}$

und das ist nun wirklich ein grundintegral aller einfachster sorte, ohne wurzel ohne allem

edit: scheiß latex :/

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