Welches Verfahren für dieses Integral?

13.02.2006, 20:53

hornet

Welches Verfahren für dieses Integral?

Hallo...
Ich komme mal wieder nicht weiter...

Habe hier folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{e^{2x}+1} ~dx \end{eqnarray*}$

nun dachte ich mir: z= e^(2x)+1
z' = 2*e^(2x)

und

dx=dz / (2*e^(2x))

Aber das bringt mich irgendwie nicht weiter... Das x stört ja...

Wie kann ich das angehen?

13.02.2006, 20:56

Calvin

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Du musst das letzte e^(2x) natürlich auch noch substituieren. Löse z=e^(2x)+1 nach e^(2x) auf.

13.02.2006, 21:16

hornet

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Hallo Calvin, danke für deine Antwort....

Leider weiß ich nicht, ob ich dich richtig verstanden habe....

Ich hatte folgende Formel:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{e^{2x}+1} ~dx = \int_{}^{}~\frac{1}{z}*\frac{1}{2*e^{2x}}~dz \end{eqnarray*}$
Nun soll ich nach e^(2x) auflösen?
Das ist ja e^(2x) = z-1 !

Kann ich dann folgendes schreiben ?

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{e^{2x}+1} ~dx = \int_{}^{}~\frac{1}{z}*\frac{1}{2*e^{2x}}~dz = \int_{}^{}~\frac{1}{z}*\frac{1}{2*(z-1)}~dz \end{eqnarray*}$

(Also mein Mathegefühl sagt mir, dass es nicht geht.)

13.02.2006, 21:57

sqrt(2)

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Es geht aber.

13.02.2006, 22:50

PimpWizkid

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Ich rechne atm an der selben Funktion... verstehe aber die Regel dahinter nicht? Ist das hier reine nichtlineare Substitution?

13.02.2006, 22:56

sqrt(2)

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Ja.

$\begin{eqnarray*} z:=e^{2x}+1~\Ra~\frac{\dd z}{\dx}=2e^{2x}=z-1~\Lra~\dx=\frac{\dd z}{z-1} \end{eqnarray*}$

13.02.2006, 23:16

hornet

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Also ich habe kapituliert. Mein Hirn kann (nach 4 Stunden) nicht mehr...

Bei der Substitution kommt ja folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{z}*\frac{1}{2(z-1)}~dz \end{eqnarray*}$

Das muss man nun wieder integrieren (Den 1/2 Bruch imho vor das Integral schreiben).

Ich habs mit partieller Integration versucht, hatte dann aber zum Schluss noch ein Integral....

PimpWizkid, wenn du das Monster erlegt hast, kannst du mir einen Weg (und am besten die Lösung Big Laugh

) posten?

13.02.2006, 23:18

JochenX

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partialbruchzerlegung!?

13.02.2006, 23:19

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x(x-1)}~\dx \end{eqnarray*}$ erlegt sich am besten mit einer Partialbruchzerlegung.

14.02.2006, 08:49

PimpWizkid

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@ sqrt(2): nach meinem wissen wende ich die nicht lineare substitution doch nur an, wenn ich irgendwo ne Ableitung schon stehen habe... hier kommt es mir so vor als wenn man die einfach mal so da reingebastelt hat.. dann wäre allerdings die Funktion ja ne ganz andere Hilfe

*miratmtotalblödvorkomm:

14.02.2006, 16:09

hornet

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So... Heute hat sich das Rätsel gelöst...

Substitution ist hier nicht angebracht.

Zuerst klammert man das e- aus!

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{e^{2x}+1}~dx = \int~\frac{1}{e^{2x}*(1+\frac{1}{e^{2x}})}dx = \int~\frac{1}{e^{2x}*(1+e^{-2x})}dx \end{eqnarray*}$

Dann erweitert man den Bruch:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{e^{-2x}}{e^{-2x}*e^{2x}*(1+e^{-2x})}dx = \int~\frac{e^{-2x}}{(1+e^{-2x})}dx \end{eqnarray*}$

Und nun das ganze Integral erweitern:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2} \int~\frac{-2*e^{-2x}}{(1+e^{-2x})}dx \end{eqnarray*}$

Und nun hat man den Schuh schon fast fertig!
Das ist ein Spezialfall... Im Zähler steht die Ableitung des Nenners!

Damit ist das Integral:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2} \int~\frac{-2*e^{-2x}}{(1+e^{-2x})}dx =\frac{-1}{2} ln(1+e^{-2x})+C \end{eqnarray*}$

WEnn mans weiß, gar nicht so schwer Big Laugh

14.02.2006, 20:51

sqrt(2)

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Zitat:

Original von PimpWizkid
nach meinem wissen wende ich die nicht lineare substitution doch nur an, wenn ich irgendwo ne Ableitung schon stehen habe... hier kommt es mir so vor als wenn man die einfach mal so da reingebastelt hat..

Sie kommt hinein, weil bei nichtlinearen Substitutionen $\begin{eqnarray*} \dx\neq\dd z \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Original von hornet
Substitution ist hier nicht angebracht.

Das ist Unsinn. Du siehst es vielleicht nicht auf den ersten Blick, aber du hast selbst eine Substitution angewandt.

14.02.2006, 23:18

hornet

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Zitat:

Das ist Unsinn. Du siehst es vielleicht nicht auf den ersten Blick, aber du hast selbst eine Substitution angewandt.

Ja, stimmt... Ich sehe hier keine Substitution. Für mich ist Substitution bis jetzt das Ersetzten eines Ausdrucks durch eine neue Variable.

Was kann man denn noch als Substitution bezeichen?

15.02.2006, 11:34

PimpWizkid

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sqrt(2) meint glaub ich dass du im prinzip 1/z integriert hast und anschließend resubtituiert hast...

edit: du hast btw im Zählerterm und vor dem 1/2 ein Minus vergessen Lehrer

*g*

16.02.2006, 21:00

hornet

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oh danke... habs verbessert

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