Cauchy Schwarz Ungleichung

31.05.2008, 09:13	Olivia123	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy Schwarz Ungleichung Hallo, ich habe folgende Aufgabe bekommen: Seien $\begin{eqnarray} X_1,...,X_n \end{eqnarray}$ positive Zufallsvariablen mit endlichen Varianzen: Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \frac{Var(\sum_{i=1}^n~X_i)}{E(\sum_{i=1}^n~X_i} \leq \sum_{i=1}^n \frac{Var(X_i)}{E(X_i)} \end{eqnarray}$ Als Hinweis steht noch dabei: Vollständige Induktion und die Cauchy-Schwarz Ungleichung Also wenn Induktion, dann ist ja für n=1 die Aussage klar. Und weiter wirds nicht mehr so klar: $\begin{eqnarray} \frac{Var(\sum_{i=1}^{n+1}~X_i)}{E(\sum_{i=1}^{n+1}~X_i)}=\frac{Var(\sum_{i=1}^n~X_i+X_1)}{E(\sum_{i=1}^n~X_i+X_1)} \end{eqnarray}$ So und nun? Ich kann im Nenner die Linearität des Erwartungswertes ausnutzten, aber die Varianz kann ich ja nicht einfach reinziehen, da meine Zufallsvariablen nicht unabhängig identisch verteilt sind. Wenn ich das ausschreibe hab ich ja die Formel mit der Cov stehen und bin genau so schlau wie vorher. Danke sehr für Anregungen Olivia
31.05.2008, 09:37	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Induktionsschritt $\begin{eqnarray} (n-1)\to n \end{eqnarray}$ reicht es mit Abkürzung $\begin{eqnarray} Y:=\sum_{i=1}^{n-1} X_i \end{eqnarray}$ folgendes nachzuweisen: $\begin{eqnarray} \frac{\operatorname{var}(Y+X_n)}{E(Y+X_n)} \leq \frac{\operatorname{var}(Y)}{E(Y)} + \frac{\operatorname{var}(X_n)}{E(X_n)} \qquad () \end{eqnarray}$ der Rest folgt dann mit der Induktionsvoraussetzung. () ist nun nichts anderes als die eigentliche Behauptung für n=2 Zufallsgrößen, hier aber eben nicht $\begin{eqnarray} X_1,X_2 \end{eqnarray}$ genannt sondern $\begin{eqnarray} Y,X_n \end{eqnarray}$ . () lässt sich nun durch äquivalente Umformung noch etwas vereinfachen, so dass die Anwendung von Cauchy-Schwarz fast ins Auge springt. Ich erinnere dazu mal noch an $\begin{eqnarray} \operatorname{var}(Y+X_n) = \operatorname{var}(Y) + \operatorname{var}(X_n) + 2\cdot \operatorname{cov}(Y,X_n) \end{eqnarray}$ sowie definitionsgemäß $\begin{eqnarray} \operatorname{var}(Y) = E((Y-E(Y))^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \operatorname{var}(X_n) = E((X_n-E(X_n))^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \operatorname{cov}(Y,X_n) = E((Y-E(Y))\cdot (X_n-E(X_n))) \end{eqnarray*}$ .

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