Differenzialgleichung finden

13.02.2006, 21:40

Die Maschine

Differenzialgleichung finden

Habe hier ein Problem:

$\begin{eqnarray*} f(t)=12-4 \mathrm e^{-0,03t} \end{eqnarray*}$

Wo ist die Schranke?

Finde zu y'=k(S-y) eine Differenzialgleichung!

Ich hab irgendwie keinen Plan wie ich das angehen soll!

Ich tippe aber darauf dass die Schranke S=12... aber ich weiß nicht warum!

EDIT: LaTeX verbessert, bei sqrt(2) im Zitat auch.

13.02.2006, 21:44

marci_

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setzte doch einfach mal ein...
S=12
k=-0,03
y=f(t)

13.02.2006, 21:46

sqrt(2)

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RE: Differenzialgleichung finden

Zitat:

Original von Die Maschine
$\begin{eqnarray*} f(t)=12-4 \mathrm e^{-0,03t} \end{eqnarray*}$

Wo ist die Schranke?

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist streng monoton wachsend (zu zeigen über die Ableitung). Eine Schranke ist also der Grenzwert gegen plus oder minus unendlich.

Zitat:

Original von Die Maschine
Finde zu y'=k(S-y) eine Differenzialgleichung!

Das ist eine Differenzialgleichung, und zwar eine separierbare, falls du eine Lösung suchst...

13.02.2006, 22:03

Die Maschine

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Zum 1. Kommentar:

Ja, ich habe eingesetzt.... aber irgendwie weiß ich nicht weiter... ich komm immer wieder auf die gleiche Gleichung und es macht keinen Sinn...

Zum 2. Kommentar:

Was ist eine separierbare Lösung oder Gleichung oder....

13.02.2006, 22:07

sqrt(2)

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Dass die Schranke 12 ist, solltest du jetzt ja zeigen können...

Was die Differenzialgleichung angeht: Zumal $\begin{eqnarray*} y'=k(S-y) \end{eqnarray*}$ eine Differenzialgleichung ist, was ist dann der Sinn der Aufgabe, eine zu finden? verwirrt

13.02.2006, 22:15

Die Maschine

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also ich hab mir dazu mal was aufgeschrieben aus eine der vorherigen Stunden:

f(t)=20+u(t) t>0

f(t)~f(t)+S

d.h. es exist. k element R mit
f'(t)= k(S-f(t))
y'=k(S-y)

dy/dx = k(S-y)

Für S-y ungleich 0:

dy/(S-y)=k dx

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{dy}{S-y} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~k~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-1)ln \mid S-y \mid = kx+c \end{eqnarray*}$

Hier S-y<0 $\begin{eqnarray*} \mid S-y \mid \end{eqnarray*}$ = -(S-y) = y-S

(-1)ln(y-S)=kx+c
ln (y-S)=-kx-c
y-S= e^-kx-c

y = S+ e^-kx+c

13.02.2006, 22:17

Abakus

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Zu berechnen sind k und S, so dass f die DGL erfüllt. Dazu wäre f in die DGL einzusetzen und dann müsste man etwas sehen.

Grüße Abakus smile

13.02.2006, 22:18

Die Maschine

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mein Mathelehrer meinte nur, dass man in der ganz oben angegeben Aufgabe (von meinem 1. Kommentar) das ganze was ich gerade hingeschrieben habe, von der anderen Seite her aufwickelt... also quasi von oben nach unten statt von unten nach oben macht.

13.02.2006, 22:22

Abakus

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Setze f einmal in die DGL ein und versuche k und S zu berechnen.

Grüße Abakus smile

13.02.2006, 22:25

Die Maschine

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gut... dann hab ich:

y'=k(S-y)

y'=k(S-12-e^-0,03t)

y'=kS-12k-e^-0,03t

also habe ich immer noch ne Gleichung mit 3 Unbekannten.... das macht mich nicht unbedingt schlauer...

nebenbei schon mal danke, für die ersten Bemühungen mir zu helfen.

13.02.2006, 22:29

Abakus

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Zitat:

Original von Die Maschine
y'=k(S-12-e^-0,03t)

Bitte richtiges Vorzeichen nehmen zunächst. Statt y' setze die Ableitung von f ein.

Grüße Abakus smile

13.02.2006, 22:32

Die Maschine

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Okay... ich bin jetzt bei

12+e^(-0,03t) +S = e-^(kx-c)

angekommen... aber wat nu??

13.02.2006, 22:42

Abakus

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Nicht so. Einzusetzen ist einfach nur f in die DGL:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial t} = k * (S - f(t)) \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich das ausrechne, komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} 0.12 * e^{-0.03*t} = k * (S - 12 + 4 * e^{-0.03 * t}) \end{eqnarray*}$ .

Diese Gleichung muss nun für alle t richtig sein. Also wähle t geeignet (zB t=0, t=1 etc.).

Grüße Abakus smile

13.02.2006, 22:47

Frooke

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Zitat:

Original von Abakus
Diese Gleichung muss nun für alle t richtig sein. Also wähle t geeignet (zB t=0, t=1 etc.).

Grüße Abakus smile

Hmm? Wie meinst Du das?

13.02.2006, 22:57

Abakus

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Um k und S berechnen zu können, wähle ich für t nun spezielle Werte:

t=0 ergibt folgende Gleichung: $\begin{eqnarray*} 0.12 = k * (S - 8) \end{eqnarray*}$

t=-100/3*ln(2) ergibt genauso: $\begin{eqnarray*} 0.24 = k * (S - 4) \end{eqnarray*}$

Daraus sollten sich nun k und S ermitteln lassen (Gleichungssystem).

Grüße Abakus smile

13.02.2006, 22:59

Frooke

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Ach natürlich, ja! Sorry, ich hatte gedacht, da hätt sich ein Fehler eingeschlichen! Danke und nichts für ungut!

13.02.2006, 23:01

Die Maschine

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Mmh... ich frage mich, ob das das Ziel ist, was erreichen wollte!?!?

Nun gut... ich warte mal ab, was der Unterricht mir morgen bringt.

Gut Nacht und Dankeschön!

13.02.2006, 23:07

Abakus

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Noch das Endergebnis dann, die eine Gleichung von der anderen abgezogen ergibt:

$\begin{eqnarray*} 0.12 = 4 * k \Rightarrow k = 0,03 \end{eqnarray*}$

Das noch in eine beliebige Gleichung eingesetzt liefert: $\begin{eqnarray*} S = 12 \end{eqnarray*}$

Damit haben wir die zu bestimmende DGL: $\begin{eqnarray*} y' = 0.03 * (12 - y) \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

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