Taylorreihe

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k_wolt Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe
Gebe Taylorreihe am Punkt x_0 der Funktionen

1. x^3 +1 ,x_0=-1

2. x/(1+x), x_0 =0

3. exp[(x-1)²/2] ,x_0 =1

an und ermitleden Konvergenzradius!


Wenn mir jemand Tipps geben könnte, fände ich das super!!!!
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

es heißt taylorreihe IM punkt ... Lehrer

was weißt du denn schon? zumindest die entwikclung sollte mit stumpfem einsetzen machbar sein?
 
 
k_wolt Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Taylorreihe

(a))/k!*(x-k)^k

ich habe keine Ahnung, was ich wo einsetzten muss Hilfe
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

sollte das hinten nicht x-a heißen?

a ist deine stelle, also dein x0
f^(k) steht für die k-te ableitung
k! ist k fakultät, also 1*2*3*...*k

woran scheiterts? z.b. die 1) geht doch schnell....
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe
Hallo, Du solltest etwas unmissverständlicher schreiben, dass Du auch Funktionen meinst, indem Du sie mit einem f(x)= versiehst!







Die Taylorreihe sieht so aus:



Um Konvergenzradien zu bestimmen, musst Du schon bis +unendlich aufsummieren Augenzwinkern !

Nun, was kannst Du denn nicht einsetzen?

ist die k-te Ableitung in a. Der Rest ist ja eigentlich ersichtlich.
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

a ist dein sogenannter entwicklungspunkt, in deiner aufgabe sagst du x_0 statt a, das ist jacke wie hose, hauptsache die ganze aufgabe durch einheitlich

das f mit dem k in der klammer oben dran ist eine schreibweise für ableitungen, f^(1) ist f', f^(2) ist f'' und so weiter, f'''''''''''''''''''''' sieht einfach kacke aus und ist unübersichtlich

k! ist die fakultät k mal (k-1) mal (k-2) und so weiter

x bleibt als allgemeines x stehen

so, zum einsetzen sollte das reichen

falls herleitung gewünscht noch mal melden

achja, das summensymboll ist bekannt?
k_wolt Auf diesen Beitrag antworten »

also muss ich k so stehen lassen und setzte nur x_0 ein
und was ist mit f(x)?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von k_wolt05
also muss ich k so stehen lassen und setzte nur x_0 ein
und was ist mit f(x)?

f(x) ist deine funktion unglücklich
k ist der laufindex
k_wolt Auf diesen Beitrag antworten »

also komme ich bei 1. auf folgendes:



stimmt das?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wo ist dein glied vom grade 3?

das ist das letzte glied, für das f^(k)(x) nicht konstant 0 ist, das fällt also nicht weg!

mfg jochen



ps: geht die taylorreihe eigentlich nicht von 0 los (?)
[edit: wikipedia sagt doch, eure taylorreihen sind also falsch oben, k=0 nicht vergessen]
k_wolt Auf diesen Beitrag antworten »

die 3. Ableitung ist doch aber 0
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

das ist ja das tolle: die vierte (! dritte ableitng ist wegen grad f=3 konstant sechs), die fünfte ... ableitung ist jeweils null (bei deiner ersten aufgabe, danach siehts anders aus!). du hast also gar nicht viele n zu betrachten! was schon etwas über die konvergenz bzw. den konvergenzradius aussagen könnte.

ach ja: loed hat natürlich recht, k=0 ist erstes glied (sprich: nullte ableitung, was eben die funktion selber ist, fließt natürlich auch ein!)
k_wolt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zeta
die vierte (! dritte ableitng ist wegen grad f=3 konstant sechs)


das verstehe ich nicht.

denn
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von k_wolt05 (texcode geändert)
Zitat:
Original von zeta
die vierte (! dritte ableitng ist wegen grad f=3 konstant sechs)


das verstehe ich nicht.

denn

schreibe bitte ' (auf der #-taste) statt ´, sonst sehen firefoxuser schmarn!

poste mal deine 3 ableitungen, f'''=6
k_wolt Auf diesen Beitrag antworten »

oh, ihr habt recht
also komme ich jetzt auf:

2x³+ 4,5 x² + 6x + 3,5

Kann das sein?
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab etwas anderes heraus Augenzwinkern

zeige doch mal deine einzelnen summanden?
k_wolt Auf diesen Beitrag antworten »

also bei mir schaut das so aus:

0 + 3 (x+1) - 6/2 * (x+1)² + 6/3 * (x+1)³
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

kurz vor richtig, aber 6/3 ist falsch: da muss 3! im nenner stehen, was 6 ist!
k_wolt Auf diesen Beitrag antworten »

ah danke, demzufolge habe ich dann stehen:

x³ + 3/2 * x² + 3 x + 5/2 = T

aber wie ermittle ich den Konvergenzradius?
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

da ist noch irgendwo der wurm drin...
überprüfe nochmal, das richtige ergebnis sollte dich "pertubieren" (ich steh' auf den ausdruck :punksmile
munich Auf diesen Beitrag antworten »

Hab das mal nachgerechnet, komme aber auf das gleiche Ergebnis wie k_wolt05:





















Wäre toll wenn ihr das überprüfen könntet.


Edit: statt . Danke für den Hinweis, Zeta.
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

Nomen est Omen (watch my Slogan!)

im ersten post steht x_0 = MINUS 1 !!!!!!!!!
edit: scheinst du aber in der rechnung gemacht zu haben.
Aber: der dritte summand (der erste ist die null) ist recht eigentümlich behandelt?????? was teilt ihr denn da noch durch 2???
k_wolt Auf diesen Beitrag antworten »

weil es die 2. Ableitung ist. Laut Taylorreihe muss man dann durch 2! teilen.

Aber weiß vielleicht noch jemand, wie ich den Konvergenzradius bestimme?
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

der konvergenzradius ist der nächste schritt.

dein ergebnis ist immer noch falsch!!!!



stumpfes einsetzen!!! dann hat man -6/2!, also -3, das kann man in den zähler ziehen, aber dann doch nicht mehhr teilen!?!
k_wolt Auf diesen Beitrag antworten »

super zeta, danke für dein Einsatz, also habe ich jetzt da stehen:

x³ + 3x² + 6x - 2
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

das kannst du zwar da stehen haben, aber das ist nicht die richtige lösung, sorry!

überlege doch mal, was taylor eigentlich macht, und was deswegen passieren muss, wenn man wie du im vorliegenden ersten beispiel ein polynom axpproximierst!!!

entwickle doch mal die funktion f(x)=x^3+c im punkt p allgemein, d.h. lass da einfach c und p beliebige, aber feste konstanten (etwa reelle) sein. wollen wir wetten, dass wenn du keinen fehler machst, da taylor liefert: "x^3+c" Augenzwinkern womit wir dann beim konrad (witzige abkürzung für konvergenzradius, gell) wären...
k_wolt Auf diesen Beitrag antworten »

da könnte doch 3x³ + 6x - 2 = c sein, oder darf x in c nicht vorkommen?
munich Auf diesen Beitrag antworten »

den allgemeinen fall hab ich noch nicht gerechnet, aber bei der Aufgabe hab ich jetzt raus.
Das müsste ja jetzt nach deinen Ausführungen stimmen, zeta. Weiß auch nicht was ich da zuerst verplant hab...

Nochmal danke für deine ausführliche Hilfe, zeta !!!
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

munich Auf diesen Beitrag antworten »

Klasse !!!! Das hab ich auch rausbekommen.

Okay, dann wärs super wenn du uns noch beim konrad helfen könntest.

Ich dachte mir das so, kann ich vielleicht das Quotientenkrierium nehmen und dann auflösen, für welche x der Betrag des Quotienten aus < 1 ist, wobei a_n das n-te Glied der Folge ist.
Da müsste die Reihe ja dann konvergent sein.

Ergibt das sinn oder hab ich Unsinn gepostet ???

thx
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

hast du bzgl. dieses spezialfalls eines zu approximierenden polynoms den eindruck, dass konrad sich nicht voll ausleben dürfte? (siehst du noch ein a im ergebnis x^3+c?)
munich Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt hier ist der Konvergenzradius R, oder ???


Und wie sähe es im Allgemeinen aus ? Könnte ich im Allgemeinen mit meiner Idee den Konvergenzradius bestimmen ???

thx
k_wolt Auf diesen Beitrag antworten »

Hey vielen dank zeta, aber wozu macht man das denn, wenn sowieso wieder das gleiche rauskommt
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

das macht man eigentlich auch nicht für polynome, weil es da witzlos ist. aber bei deinen anderen aufgaben wird auch etwas anderes als die ausgangsfunktion herauskommen (nämlich eben ein plynom, falls konvergent)

zum konrad gibt es formeln, z.b. cauchy-hadamard, limes-betrachtung (beruht allerdings auf dem kehrwert des quot-krit!!)
einfach mal googeln oder so, ist machbar
munich Auf diesen Beitrag antworten »

okay, nochmal danke.
falls es mit konrad noch probleme gibt meld ich mich einfach nochmal.

thx,
cu
k_wolt Auf diesen Beitrag antworten »

also ist der Konvergenzradius= 1 ?

und bei der 2. Aufgabe mit der Fkt. komm ich auf folgende Taylorreihe:

k_wolt Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leute,
weiß vielleicht jemand, wie ich von auf diese Taylorreihe komme? Die wir oben stehen haben, ist wohl falsch. Hilfe
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

du wirst doch das mal ausrechnen können???????????????????????
wenn sich da nicht etliches wegkürzt, hats du ne neue rechenart erfunden!
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von k_wolt05
Die wir oben stehen haben, ist wohl falsch. Hilfe


Nein, ich habe im anderen von Dir gestarteten Taylor-thread bereits Folgendes gesagt:

Zitat:
Original von Frooke
die kubische Approximation einer kubischen Funktion [ist] sie selbst.


Das gilt allgemein für Polynome: Polynome sind taylorisiert wieder sie selbst!
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