Zahlentheorie: Summe von zwei Quadraten

31.05.2008, 13:56

chivas

Zahlentheorie: Summe von zwei Quadraten

Hallo,
ich möchte zeigen, dass alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ (für primes p) als Summe von zwei Quadratzahlen darstellbar sind.

Aber das gelingt mir nicht. Also, ich weiß, dass alle $\begin{eqnarray*} p \equiv 1 \mod 4 \end{eqnarray*}$ als Summe zweier Quadrate darstellbar sind und jede natürliche Zahl, falls der Exponent der Primfaktorzerlegung für Primzahlen der Form $\begin{eqnarray*} p \equiv 3 \mod 4 \end{eqnarray*}$ gerade ist.
Kann ich vielleicht benutzen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ zyklisch ist? Dann müsste ich nur den Erzeuger betrachten.

02.06.2008, 20:01

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir da auch mal ein paar Gedanken dazu gemacht und gefunden, dass man
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\lambda}{p}\right)=1 \end{eqnarray*}$
zeigen muss, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ der Erzeuger von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p^* \end{eqnarray*}$ ist.

Dazu:
Annahme, $\begin{eqnarray*} \left(\frac{\lambda}{p}\right)=-1 \end{eqnarray*}$ , das heisst es gibt kein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb F_p \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} x^2=\lambda \end{eqnarray*}$ , also auch nicht $\begin{eqnarray*} x^4=\lambda^2 \end{eqnarray*}$ . Das heisst im Klartext, die Ordnung von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist ungerade. Aber $\begin{eqnarray*} \textnormal{ord}\,\lambda=p-1 \end{eqnarray*}$ (weil Erzeuger) und $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ ist gerade. Das ist ein Widerspruch.

Stimmt das so?

02.06.2008, 20:14

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
also auch nicht $\begin{eqnarray*} x^4=\lambda^2 \end{eqnarray*}$ .

Eine äußerst zweifelhafte Schlussfolgerung...

Überhaupt bist du gewaltig auf dem Holzweg. Aus $\begin{eqnarray*} \left(\frac{\lambda}{p}\right)=1 \end{eqnarray*}$ für p>2 folgt gewiss, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ kein Erzeuger (mir gefällt "primitive Wurzel" besser) von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ ist:

Dann existiert nämlich ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^2=\lambda \end{eqnarray*}$ , womit $\begin{eqnarray*} \lambda^{\frac{p-1}{2}} = x^{p-1} = 1 \end{eqnarray*}$ folgt, d.h. $\begin{eqnarray*} \operatorname{ord}(\lambda) \leq \frac{p-1}{2} \end{eqnarray*}$ und somit keinesfalls Erzeuger...

02.06.2008, 20:28

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent

Dann existiert nämlich ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^2=\lambda \end{eqnarray*}$ , womit $\begin{eqnarray*} \lambda^{\frac{p-1}{2}} = x^{p-1} = 1 \end{eqnarray*}$ folgt, d.h. $\begin{eqnarray*} \operatorname{ord}(\lambda) \leq \frac{p-1}{2} \end{eqnarray*}$ und somit keinesfalls Erzeuger...

Stimmt. Dann kann ich weiterversuchen.

Neue Frage »

Antworten »

Zahlentheorie: Summe von zwei Quadraten

Verwandte Themen