Komplexe Zahlen/Polarkoordinaten

14.02.2006, 15:54	Krissi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen/Polarkoordinaten Hallo Ihr! Ich sitz mal wieder an meiner Facharbeit und habe nun auch die gonimetrische oder trigonomtrische Darstellung komplexer Zahlen hinzugefügt. Nun wollte ich eigentlich noch die Polaarkoordinaten behandeln. Doch irgendwie ist das doch das gleiche oder? Man nimmt doch auch zur definition eines Punktes in einer Ebene einfach den Radius vom Ursprung und den Winkel. Gibts da nen Unterschied?? Danke, Krissi
14.02.2006, 16:09	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
was ist denn die "gonimetrsche" darstellung? meinst du goniometrisch!? (was immer das eigentlich genau ist, aber das gibts, nur im zusammenhang mit den komplexen zahlen habe ich es noch nicht gehört!?) nachdem was du da beschreibst, scheints da aber keinen unterschied zu geben....
14.02.2006, 16:13	Krissi123	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich hab ein buch, welches ich als quelle, da ist folgendes als "goniometrische Darstellung komplexer Zahlen" bezeichnet: $\begin{eqnarray} z=a+bi=r(cos\alpha +isin\alpha) \end{eqnarray*}$ In meiner Formelsammlung steht es als trigonometrische Darstellung. Ich denke mal, dass es das selbe ist.
14.02.2006, 16:17	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
also doch goniometrisch $\begin{eqnarray} r(cos\alpha +isin\alpha)=re^{\alpha i} \end{eqnarray*}$ in leicht anderer darstellung, vielleicht liegt da noch ein unterschied in der darstellung (?) aber im groben und ganzen ist es dann gleich, zumindest vom rechnen
14.02.2006, 16:21	Krissi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Zu der anderen Darstellung will ich noch kommen. Bin noch nicht so richtig weiter, was genau die Eulerformel ist und wie ich sie herleite. Ist das richtig, dass ich einfach $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ als Taylor-Reihe darstelle: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} x=xi \end{eqnarray*}$ setze, nach Real- und Imaginäranteil sortiere und schwupps die Eulerformel da stehen habe? Ist das einfach nur ne andere Darstellungsform (Exponentialform??) oder ist das noch was anderes... Blicke da noch nicht so ganz durch... Und was ist von der Logik her besser? Erst Satz des Moivre oder erst Euler-Formel? Danke, krissi
14.02.2006, 16:26	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn mich nicht alles täuscht ist $\begin{eqnarray} e^{i \phi}:=\cos{\phi}+i\sin(\phi) \end{eqnarray}$ eher definition* komplexer e-funktions-werte aber vielleicht wartest du da lieber noch auf expertenmeinung
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14.02.2006, 20:04	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, es ist richtig, dass die Euler'sche Relation - als grundlegende Beziehung (also noch vor dem Satz von Moivre) - aus der Potenzreihe der Funktion $\begin{eqnarray} f(x):=e^x \end{eqnarray}$ für imaginäre Argumente leicht ableitbar ist! $\begin{eqnarray} e^{i \phi}=cos(\phi)+i \cdot sin(\phi) \end{eqnarray}$ Daher stellt diese keine Definition dar! Der Satz von Moivre $\begin{eqnarray} (cos(\phi)+i \cdot sin(\phi))^n = cos(n \cdot \phi)+i \cdot sin(n \cdot \phi) \end{eqnarray}$ folgt unmittelbar aus der Euler'schen Relation durch Potenzieren: $\begin{eqnarray} (e^{i\phi})^n = e^{i \cdot n \cdot \phi} = e^{i \cdot (n\phi)} = cos(n\phi)+i \cdot \sin(n\phi) \end{eqnarray}$ Gr mYthos

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