Konfidenzintervall für Wahrscheinlichkeit

14.02.2006, 16:44

aRo

Konfidenzintervall für Wahrscheinlichkeit

Hallo!

Ein Reißnagel wurde 400 mal geworfen und 240 mal blieb er auf dem Kopf (A) liegen.
a) Ermittle das Vertrauensintervall zu Vertrauenszahl = 0.95 für die unbekannte Wahrscheinlichkeit von A.

b) Welchen Umfang muß die Stichprobe mindestens haben, um die Länge des Vertrauensintervalls aus a) zu halbieren?

Ich habe bei a) das ganze einfach nach dem Standardverfahren gemacht. Ich weiß zwar nicht, was ich da genau tue, aber naja smile

das muss ich irgendwann nochmal lernen.

Also jedenfalls ahbe ich raus
[0.5515;0.6466]

bei der b habe ich mir das dann so gedacht:
die Länge des Intervalls ist ja $\begin{eqnarray*} l = 2c*\sqrt{\frac{p(1-p)}{n} } \end{eqnarray*}$
das habe ich für c= 1.96, p=0.6 und n=400 ausgerechnet. Und erhalte dann für $\begin{eqnarray*} l/2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0.048 \end{eqnarray*}$

dann das ganze nach der Formel:
$\begin{eqnarray*} n \geq \frac{1.96^2}{0.048^2} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig? Vor allem, kann ich davon ausgehen, dass ich p=0.6 wähle?

aRo

14.02.2006, 18:47

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Zitat:

Original von aRo
Vor allem, kann ich davon ausgehen, dass ich p=0.6 wähle?

Da hast du genau das Problem dieser sehr beliebten "Quick-and-dirty"-Methode ausgemacht: $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist nämlich gar nicht 0.6, sondern nur die $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Schätzung $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ ist 0.6. Mal von Anfang an:

Die Anzahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ der Erfolge ist verteilt gemäß $\begin{eqnarray*} B(n,p)\approx \mathcal{N}(np,np(1-p)) \end{eqnarray*}$ , für den $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Schätzer $\begin{eqnarray*} \bar{X}=\frac{X}{n} \end{eqnarray*}$ gilt somit approximativ $\begin{eqnarray*} \bar{X}\sim \mathcal{N}\left( p,\frac{p(1-p)}{n} \right) \end{eqnarray*}$ . Zum Konfidenzintervall gehören nun alle $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} q_{\alpha/2} < \bar{X} < q_{1-\alpha/2} \end{eqnarray*}$

wobei hier links und rechts die Quantile der $\begin{eqnarray*} \bar{X} \end{eqnarray*}$ -Verteilung stehen, in denen implizit das $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ drinsteckt. Mit der Normalverteilungsapproximation wird daraus

$\begin{eqnarray*} p-\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}z_{1-\alpha/2} < \bar{X} < p+\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}z_{1-\alpha/2} \qquad (*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p-\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}z_{1-\alpha/2} = \bar{X} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ aufgelöst ergibt die obere Grenze, und $\begin{eqnarray*} \bar{X} = p+\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}z_{1-\alpha/2} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ aufgelöst die untere Grenze des Konfidenzintervalls. Das sind quadratische Gleichungen für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ! Da man aber sowieso mit Normalverteilung nähert, scheut man oft diese exaktere Vorgehensweise und setzt in (*) links und rechts für die $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ unter der Wurzel (und nur für die!) kurzerhand einfach $\begin{eqnarray*} p\approx\bar{X} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} p-\sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}z_{1-\alpha/2} < \bar{X} < p+\sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}z_{1-\alpha/2} \qquad (**) \end{eqnarray*}$

(**) lässt sich natürlich viel leichter nach $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ auflösen als (*), und ist meistens auch ganz Ok. Eine Ausnahme sind sehr kleine oder große Werte von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 0<p<\varepsilon \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1-\varepsilon<p<1 \end{eqnarray*}$ (zu sehen an dem $\begin{eqnarray*} \bar{X} \end{eqnarray*}$ ), da sollte man wirklich besser (*) verwenden.

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